GT6501非線性電路混沌實驗儀說明書
一、概述
長期以來,對客觀事物運動規律的描述,一直採用確定論和概率論兩種體系,確定論的基礎是牛頓力學,用以描述事物的確定性運動；而概率論的基礎是統計學,用以描述事物的隨機運動,代表性的成果是量子力學. 確定性運動和隨機運動被認為是涇渭分明、毫無關係的兩種類型的運動,確定性運動可以用確定性方程所描述,隨機運動只能用統計學規律所描述,沒有人懷疑它們之間存在由此及彼的關係. 直到上世紀60年代初,美國氣象學家Lorenz在對大氣對流模型作數值計算時,首先發現了耗散系統中的混沌運動,即發現確定性系統可以產生類似隨機的運動,從而使人們有理由認為許多以往被視為隨機的運動可能是由確定性系統所產生,確定性運動與隨機運動可能存在某種必然的聯繫,存在由此及彼的關係. 因而混沌運動也被視為上一世紀既相對論和量子力學後的第三大重大發現,Lorenz 也成為第一個針對現實物理系統進行混沌研究的科學家.
混沌運動的發現,使人們開始重新審視以往許多已被定論的研究成果,幾乎涉及各個科學研究領域,都在證實確定性運動與隨機運動的關係,取得了許多重大的研究成果,澄清了許多重大現象的實際產生原因,並應用混沌特性實現了許多常規定律無法取得的工作特性.
非線性動力學以及與此相關的分岔混沌現象的研究是近二十多年來科學界研究的熱門課題,從大量研究此學科的論文發表中可見一斑. 混沌現象涉及物理學、數學、生物學、電子學、計算機科學和經濟學等多領域,應用極為廣泛. 當前,非線性電路混沌實驗已列入新的綜合大學普通物理實驗教學大綱,屬於理工科院校基礎物理實驗範疇,倍受學生歡迎. 此實驗儀具有以下幾個優點：
1、採用基礎物理中電磁學實驗最基本電路,突出了物理實驗教學中的重點內容.
2、開放性實驗的平臺. 提供直觀的電路基本元件,由學生自己接線,以提高學生動手能力.
3、用示波器觀測LC振蕩器產生波形的周期分岔及混沌現象,圖形明顯,且重複性好,可連續觀測數小時.
本儀器可用於高等院校基礎物理實驗、物理演示實驗及設計性開放性物理實驗.
二、用途
主要用於高校普通物理實驗和演示實驗,主要實驗內容有：
1、用RLC串聯諧振電路,測量儀器提供的鐵氧體介質電感在通過不同電流時的電感量. 解釋電感量變化的原因.
2、用示波器觀測LC振蕩器產生的波形及經RC移相後的波形.
3、用雙蹤示波器觀測上述兩個波形組成的相圖(李薩如圖).
4、改變RC移相器中可調電阻R的值,觀察相圖周期變化. 記錄倍周期分岔、陣發混沌、三倍周期、吸引子(周期混沌)和雙吸引子(周
期混沌)相圖.
5、測量由TL072雙運放構成的有源非線性負阻「元件」的伏安特性,結合非線性電路的動力學方程,解釋混沌產生的原因.
三、儀器組成及主要技術指標
直流穩壓輸出
±15V. 提供運算放大器工作電壓
可調電位器
W1：(2.2K±5%) Ω；W2：(220±5%)Ω
四位半數字電壓表
量程為0～19.999V;解析度為1mV
電容
C1: (0.1±10%) uF C2: (0.01±10%) uF
工作電壓、儀器功率
(220±10%)V 、 <15W
電感
×10mH±1% ×1mH±2%
非線性電路混沌實驗電路板包括：
(1) LC振蕩器；
(4) 連接導線和雙Q9同軸電纜 ；
(2) RC移相器電路； (3) 雙運放及6個電阻組成的等效「有源非線性負阻元件」；
(5) 四位半數字電壓表；
四、儀器外觀圖
1、20V數字電壓表
5、20V數字電壓反向輸入端
9、電源開關
13、LC振蕩電容
2、示波器CH1通道輸入
6、-15V電源輸出
10、+15V電壓輸出
14、移相可調電阻W1
3、示波器CH2通道輸入
7、電源指示燈
11、電感「×10mH」檔波段開關
15、移相可調電阻W2
4、20V數字電壓正向輸入端
8、±15V電源地
12、電感「×1mH」檔波段開關
16、RC移相電容
17、雙運算放大器TL072
五、實驗原理
1、非線性電路與非線性動力學
實驗電路如圖1所示,圖1中R2是一個有源非線性負阻器件；電感器L1電容器C1一個損耗可以忽略的諧振迴路；可變電阻R1電容器C2聯將振蕩器產生的正弦信號移相輸出. 圖2所示的是該電阻的伏安特性曲線,可以看出加在此非線性元件上電壓與通過它的電流極性是相反的. 由於加在此元件上的電壓增加時,通過它的電流卻減小,因而將此元件稱為非線性負阻元件.
圖1
圖2
圖1電路的非線性動力學方程為：
(1)
式中,UC1、UC2是C1、、C2上的電壓,ｉL是電感L1上的電流,G=1/R1電導,ｇ為U的函數. 如果R2是線性的,則g為常數,電路就是一般的振蕩電路,得到的解是正弦函數,電阻R1作用是調節C1和、C2的位相差,把C1和C2兩端的電壓分別輸入到示波器的x,y軸,則顯示的圖形是橢圓. 但是如果R2是非線性的則又會看見什麼現象呢？
實際電路中R2是非線性元件,它的伏安特性如圖4所示,是一個分段線性的電阻,整體呈現為非線性. gUC2一個分段線性函數. 由於g總體是非線性函數,三元非線性方程組(1)沒有解析解. 若用計算機編程進行數據計算,當取適當電路參數時,可在顯示屏上觀察到模擬實驗的混沌現象.
除了計算機數學模擬方法之外,更直接的方法是用示波器來觀察混沌現象,實驗電路如圖5所示,圖5中,非線性電阻是電路的關鍵,它是通過一個雙運算放大器和六個電阻組合來實現的. 電路中,LC1並聯構成振蕩電路,W1、W2和C2的作用是分相,使CH1和CH2 兩處輸入示波器的信號產生相位差,即可得到x,y兩個信號的合成圖形,雙運放TL072的前級和後級正、負反饋同時存在,正反饋的強弱與比值R3/(W1+W2)、R4/(W1+W2)有關,負反饋的強弱與比值R2/R1,R5/R4
有關. 當正反饋大於負反饋時,振蕩電路才能維持振蕩. 若調節W1、W2時正反饋就發生變化,TL072就處于振蕩狀態而表現出非線性. 圖3就是TL072與六個電阻組成的一個等效非線性電阻,它的伏安特性大致如圖4所示.
2、有源非線性負阻元件的實現
圖3
圖4
有源非線性負阻元件實現的方法有多種,這裡使用的是一種較簡單的電路採用兩個運算放大器和六個電阻來實現,其電路如圖3所示,它的伏安特性曲線如圖4所示,實驗所要研究的是該非線性元件對整個電路的影響,而非線性負阻元件的作用是使振動周期產生分岔和混沌等一系列非線性現象.
實際非線性混沌實驗電路如圖5所示：
3、實驗現象的觀察
把圖5中的CH1和CH2接入示波器,將示波器調至CH1--CH2波形合成檔,調節可變電阻器的阻值,我們可以從示波器上觀察到一系列現象. 最初儀器剛打開時,電路中有一個短暫的穩態響應現象. 這個穩態響應被稱作系統的吸引子(attractor).這意味著系統的響應部分雖然初始條件各異,但仍會變化到一個穩態. 在本實驗中對於初始電路中的微小正負擾動,各對應於一個正負的穩態. 當電導繼續平滑增大時,到達某一值時,我們發現響應部分的電壓和電流開始周期性地回到同一個值,產生了振蕩. 這時,我們就說 ,我們觀察到了一個單周期吸引子(penod-one attractor). 它的頻率決定於電感與非線性電阻組成的迴路的特性.
再增加電導(這裡的電導值為1/(W1+W2))時,我們就觀察到了一系列非線性的現象,先是電路中產生了一個不連續的變化:電流與電壓的振蕩周期變成了原來的二倍,也稱分岔(bifurcation). 繼續增加電導,我們還會發現二周期倍增到四周期. 四周期倍增到八周期. 如果精度足夠,當我們連續地,越來越小地調節時就會發現一系列永無止境的周期倍增,最終在有限的範圍內會成為無窮周期的循環,從而顯示出混沌吸引(chaotic attractor)的性質.
需要注意的是,對應於前面所述的不同的初始穩態,調節電導會導致兩個不同的但卻是確定的混沌吸引子,這兩個混沌吸引子是關於零電位對稱的.
實驗中,我們很容易地觀察到倍周期和四周期現象. 再有一點變化,就會導致一個單漩渦狀的混沌吸引子),較明顯的是三周期窗口. 觀察到這些窗口表明了我們得到的是混沌的解,而不是噪聲. 在調節的最後,我們看到吸引子突然充滿了原本兩個混沌吸引子所佔據的空間,形成了雙漩渦混沌吸引子(double scroll chaotic attractor). 由於示波器上的每一點對應著電路中的每一個狀態,出現雙混沌吸引子就意味著電路在這個狀態時,相當每一點對應著電路中的每一個狀態,出現雙混沌吸引子就意味著電路在這個狀態時,相當於電路處於最初的那個響應狀態,最終會到達哪一個狀態完全取決於初始條件.
在實驗中,尤其需要注意的是,由於示波器的掃描頻率選擇不符合的原因,可能無法觀察到正確的現象. 這樣,就需仔細分析,可以通過使用示波器的不同的掃描頻率檔來觀察現象,以期得到最佳的掃描圖象.
六、實驗步驟
1、混沌現象的觀察
(1) 按照電路原理圖5進行接線,注意運算放大器的電源極性不要接反,接好的線路圖如圖6所示：
圖6
(2) 用同軸電纜將Q9插座CH1連接雙蹤示波器CH1道(即X軸輸入);Q9插座CH2連接雙蹤示波器CH2通道(即Y軸輸入)；可以交換X、Y輸入,使顯示的圖形相差90o.
a、調節示波器相應的旋鈕使其在Ｙ—X狀態工作,即CH2輸入的大小反映在示波器的水平方向；CH１輸入的大小反映在示波
器的垂直方向.
b、CH2輸入和CH１輸入可放在ＤＣ態或ＡＣ態,並適當調節輸入增益V／DIV波段開關,使示波器顯示大小適度、穩定的圖象.
(3) 檢查接線無誤後即可電開電源開關,電源指示燈點亮,此時電壓表不需要接入電路.
(4) 非線性電路混沌的現象觀測：
a、首先先把電感值調到20mH或21mH.
b、右旋細調電位器Ｗ２到底,左旋或右旋Ｗ１粗調多圈電位器,使示波器出現一個圓圈,略斜向的橢圓,如圖7-1所示；
c、左旋多圈細調電位器Ｗ２少許,示波器會出現二倍周期分岔,如圖7-2所示；
d、再左旋多圈細調電位器Ｗ２少許,示波器會出現三倍周期分岔,如圖7-3所示；.
e、再左旋多圈細調電位器Ｗ２少許,示波器會出現四倍周期分岔,如圖7-4所示；
f、再左旋多圈細調電位器Ｗ２少許,示波器會出現雙吸引子(混沌)現象,如圖7-5所示.
g、觀測的同時可以調節示波器相應的旋鈕,來觀測不同狀態下,Ｙ軸輸入或Ｘ軸輸入的相位、幅度和跳變情況.
h、電感的選擇對實驗現象的影響很大,只有選擇合適的電感和電容才可能觀測到最好的效果.老師和同學們有興趣的話可以改變
電感和電容的值來觀測不同情況下的現象,並分析產生此現象的原因,並從理論的角度去認識和理解非線性電路的混沌現象.
圖7-1
圖7-2
圖7-3
圖7-4
圖7-5
2、有源非線性電阻伏安特性的測量
a、測量原理如上圖8所示,具體按照下圖9進行接線,其中電流表用一般的4位
半數字萬用表,電阻箱可以選用的ZX21a或ZX21b,注意數字電流表的正極接
電壓表的正極；
b、檢查接線無誤後即可開啟電源；
c、將電阻箱電阻由99999.9Ω起由大到小調節,記錄電阻箱的電阻,數字電壓表以及電流表上的對應讀數填入表格1中. 由電壓、電流關係在坐標軸上描點作出有源
圖8
非線性電路的非線性負阻特性曲線(即I-V曲線,通過曲線擬合作出分段曲線). 實驗參考數據如表格2所示,由表格2作的I-V曲線略. 從實驗數據可以看出測量的電流和電壓的極性始終是相反的,變化是非線性的,驗證了非線性負阻特性. 實驗過程中,可能會出現電壓電流曲線在二、四象限,這屬於正常現象,由於元件的差異,非線性負阻特性曲線可能不一樣,請老師和同學們認真分析這種現象.
此有源非線性電阻,使用的是Kennedy於1993年提出的使用兩個運算放大器和六個電阻來實現的. 在測定其非線性性時,可將其作為一個黑匣子來研究,其非線性表現在其內阻和其負載的大小有關,而且呈非線性. 因此,通過電阻箱作其負載,可測定其特性,方便實驗操作. 電阻箱電阻變化的不連續,對實驗曲線影響甚小
圖9