最偉大的數學發明,人類精神的最高勝利,數學史上最精彩的紛爭

數學是自然科學的哲學，也是人類探索未知世界最重要的工具，但是數學歷史的發展經歷過很多次的危機，也經歷過不少質疑，然而這門最被人討厭的科學，還是穩穩地站在人類知識界的巔峰。

沒有任何人可以否定，數學的發展推動著人類社會的進步，沒有數學基礎的自然科學，一定不可能建立起雄偉聳立的「科學大廈」。

微積分是高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微積分創立之前的數學工具，研究對象和解決的問題都是屬於靜態的，就是所謂積分的方法。精確而瞬時的動態計算必然要涉及到微分的概念。所以，將微分和積分的理論統一起來的微積分學，本質上是一種運動的數學。

作為一門學科，微分和積分的思想早在古代就已經產生了。公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、旋轉雙曲體的體積等問題中，就隱含著近代積分學的思想。而在我國的《莊子·天下篇》中，記有「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」。這些都是樸素的極限概念，正是微分學的基礎思想。

正如恩格斯在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這裡。

但微積分產生的契機直到17世紀才出現。那時，歐洲結束了中世紀的黑暗，進入新時代。航海、造船、天文和建築等行業的發展都需要新的數學理論支撐。擺在數學家們面前的是無法用過去的知識解決的四類問題：第一類是瞬時速度問題及其逆問題，也就是運動中速度與路程的互求問題。人們在研究中發現計算物體在某時刻的瞬時速度，不能像計算平均速度那樣用移動的路程除以運動的時間，因為在給定的瞬間，物體移動的路程和所用的時間是0，而0/0是無意義的。

第二類問題是求曲線的切線的問題，它一方面用來解決光學望遠鏡的設計問題，另一方面用來求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向——即軌跡的切線方向。

第三類問題是求函數的最大值和最小值問題，用於研究行星運動和炮彈發射等問題。

第四類問題是求和問題，用於求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個相當大的物體（如行星）作用於另一物體上的引力。圍繞著解決上述四個核心的科學問題，微積分至少被十七世紀十幾個最大的數學家和幾十個小一些的數學家探索過。如法國的費馬、笛卡爾、英國的巴羅、德國的克卜勒都提出許多很有建樹的理論。

然而，微積分的真正發明要歸功於兩個「天才中的天才」——牛頓和萊布尼茲。他們在前人的基礎上走出了最後一步，使微積分的巍峨大廈得以建立。

牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於從幾何學來考慮的。

牛頓也是偉大的數學家，給我們印象最多的是關於他的生平中突出的貢獻是物理學，這裡只談談他的發明微積分。

大約在1665年，牛頓22歲的時候，已經對微積分有了相當深的認識。這時候他用「0」表示無限小的增量，已經有了極限的含義。他同時還能夠求出某個函數的瞬時變化率，它其實也就是導數。例如對於自由落體，下降距離y與時間t之間的函數關係式是y=1/2gt^2下降距離y與時間之間的函數關係式是，它的導數、瞬時變化率與瞬時速度三者是同一的。在這裡t是變量。

牛頓就把這種函數中的變量稱為流量，而瞬時變化率稱為流數，將其整體稱為「流數術」。

1669年左右時，他在朋友們中間散發了一本《運用無窮多項的分析學》，這是第一部關於微積分的專著，但這本書直到40餘年後才正式出版。此外他還寫過一些關於微積分及其應用的文章之類，不過大都直到他死也沒有正式出版或者發表，他只是在與朋友們的通信中透露出一鱗半爪，或者純粹將手稿鎖在抽屜裡。因此知道的人自然很少。

微積分另一個發明者是菜布尼茨。菜布尼茨被認為是整個西方歷史上最博學的人物之一，《不列顛百科全書》以這樣簡短而強烈的語言表達了他驚人的淵博：萊布尼茨是「德國自然科學家、數學家、哲學家。他廣博的才能影響到諸如邏輯學、數學、力學、地質學、法學、歷史學、語言學乃至神學等廣泛領域」。萊布尼茨大約是在1675年發明他的「無窮小算法」的，這裡面包含了極限的基本含義，同時通過在幾何上求曲線切線的方法得出了微積分中有關微分的理論。

微積分中的基本概念導數是一種瞬時變化率，它其實也可以通過幾何圖形去看，那時它就成了曲線上某一點的切線的斜率，二者其實是一體的，只是所說的角度不同罷了。萊布尼茨用dy與dx的比值來表示這個切線的斜率，到現在這個「d」還是微分的運算符號。不但如此，萊布尼茨還看到了與「d」相反的另一種運算，即求"∫"，這就是積分。這些我們在前面都已經說過了。

在1676年左右時，萊布尼茨還給出了微積分的基本定理，即：

在這裡這個A就是曲線與其下面的坐標橫軸圍成的曲面的面積。這個定理現在被稱為牛頓一菜布尼茨定理。

從上面看得出來，萊布尼茨已經發明了相當完整的微積分，為數學做出了至關重要的貢獻，因為微積分被許多數學家認為是有史以來最偉大的數學發明呢。

不過，這一發明並沒有給萊布尼茨在世時帶來多少榮譽，相反受其累至多，原因就在於他與牛頓之間爆發了激烈的發明優先權之爭。

我們前面剛剛說過，大約在1665年左右時，牛頓已經發明了他的流數術，這其實就是微積分。但他的研究工作只有少數幾個朋友知道。發明流數術多年以後，一次牛頓通過萊布尼茨在英國皇家學會的朋友奧爾登堡轉給萊布尼茨一封信，在信中他簡短且含糊地提到了他的發明。萊布尼茨敏銳地感覺到這就是他此時也已經想到的微積分，於是他在回信中也告訴了牛頓自己的成果。

此後，萊布尼茨的微積分方法在歐洲的數學家們中間開始流傳，並由於其實用性引起了極大的反響。到1684年，萊布尼茨在一篇名叫《求不局限於分數或無理數量的極大、極小和切線的新方法以及它們異常的計算類型》的論文中正式公布了他的發明。

過了三年，牛頓在他的巨著《論自然哲學的數學原理》的注釋中提到了與萊布尼茨通信的事。於是爭論立即爆發了。

由於是不同國家的人，兩人之間的爭論便成了國家與民族的榮譽之爭。結果萊布尼茨失敗了，至少在他有生之年如此。因為除了他的同胞，沒有人承認他是微積分的發明者，瑞士數學學會甚至公開指稱萊布尼茨是竊者。這令他一生蒙羞。當然，現在數學史家們已經得出了結論：微積分是菜布尼茨與牛頓共同發明的，牛頓發明較早，但菜布尼茨公布較早。

1716年，晚景悽涼之極的菜布尼茨在膽結石和痛風及其引起的腹絞痛的折磨之下離開了人世，終年70歲。他的葬禮同樣悽涼，據說寥寥幾名送葬者中的一個不由喟然長嘆：他其實是這個國家的榮耀，但今天卻像個強盜般入土！令人感到不勝驚訝的是，萊布尼茨雖然有數不清的工作要做，卻還能進行廣泛目深入的科學與哲學研究，並且在許多方面都取得了傑出的成就，其中最重要的哲學成就是提出了單子論，科學成就則是發明了微積分。

應該明白，這是和歷史上任何一項重大理論的完成，也要經歷一段時間一樣，牛頓和菜布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在什麼是無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的「剎那」（「瞬」）或無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的dx，dy也是不能自圓其說的。這些基礎方面的缺陷，使得牛頓被神學家貝克萊（1685-1753）猛烈攻擊，萊布尼茨被尼文太（1654-1718）竭力反對。

蔡志忠漫畫《人生是時間的微積分》——少林寺石碑

微積分在人類社會從農業文明跨入工業文明的過程中起到了決定性的作用。城市的繁榮，交通工具的不斷進步，航空航天領域的飛速發展給人類社會帶來了日新月異的變化，而這一切都離不開微積分的誕生。