馬爾可夫與鞅&布朗運動與現代金融&複製與對衝&孿生風險中性

壹

馬爾可夫與鞅

鞅的英文稱謂Martingale，同樣誕生於二項分布等古典概率概念的發源地——18世紀的法國。那裡，鞅特指的是一種賭博策略，來描述一種隨機過程。

現代數學認為，如果一個隨機過程是鞅，那麼從當前s時刻獲得的信息可以判斷該隨機過程在未來t時刻的均值就等於該隨機過程在當前時刻s的值。

來用通俗的語言來解釋這個定義吧：

好比你是一個賭徒，擲硬幣猜正反，輸的人要付給贏的人10塊錢，玩了20局之後，你一共贏了40塊錢，此後你又多玩了一局，在這一局，你仍然有50%的概率贏或輸，但你的期望的收益仍然是40元，乃至於你玩了22局，23局，不管後面有多少局，你的預期收益都是40元，賭本將不再變化。

對於你的收益來說，這就是一個鞅的過程。就好像對於不捨得花錢的小氣鬼來說，他下周每一天要花的那點小錢，看來看去都跟今天花的錢一樣。

鞅一般指套在馬頸或馬腹上的皮帶，學名叫做馬頷韁。不過即便成為了金融學一個抽象的數學概念，但卻多多少少地保留了一絲原意：

當你在一條筆直的公路上用「鞅」駕馭馬車，儘管馬會扭動身體，並通過觀察路面的行人和障礙主動躲避，但總體來說，馬車不會脫離公路，行進路線仍然還是筆直的。未來的所有可能路徑都超不出歷史的波動。

如果鞅是成立的，那麼「加倍賭注法」就會奏效：硬幣正面向上賭徒會贏得賭本；硬幣反面向上賭徒會輸掉賭本。於是賭徒為了不輸錢，其策略就是在輸錢後加倍投注賭金，為的是在下次贏錢時贏回之前輸掉的所有錢，同時又能另外贏得與最初賭本相等的收益。

當賭徒的賭金和可用時間同時接近無窮時，他贏得最初賭本的概率會接近100%，由此看來，加倍賭注法似乎是一種必然不會輸錢的策略。然而現實當中，這是不可能達成的，因為賭金的指數增長最終會導致資產有限的賭徒破產。

在部分金融人士看來，"鞅"這個概念顯然是為金融市場量身定做的：如果把股票當作是一個隨機過程，並假設它是一個鞅，那麼無論股票價格未來如何變化，截止未來某個時刻的均值等於當前股票的價格。

從某種角度來說，股票當前價格就包含了對其未來做預測所需的全部信息。

什麼是隨機過程呢？

隨機過程被假定為不可預測事件的一個序列，整個過程卻可以被規律和規則來刻畫。現代概率論奠基人柯爾莫戈羅夫認為：

「概率論的認識論價值基於這樣的事實，機會現象被集體考慮，從而在大尺度上產生非隨機的規則性。」

按照柯爾莫戈羅夫的觀點，鞅恰巧就是用來描述大尺度上的非隨機規則工具之一。

巧合的是，存在另一個與鞅類似但卻略微不同的描述隨機過程概念：馬爾可夫過程，非常適合拿來與鞅的概念放在一塊對比。

馬爾可夫過程是說，如果一個隨機過程滿足對任意時刻，給過去全部經歷，其分布與給最近一點的位置相同。換句話說，你給我過去的歷史，和給我最後觀察到的信息，兩者是完全等價的——事物將來的發展都不依賴於過去的歷史，當前的值即包含有所有歷史的信息。

這恰好與弱有效市場假說的描述異曲同工。弱有效市場假說認為：市場的價格，能夠反映出所有過去歷史的證券價格信息，包括股票的成交價，成交量等等。如果股票價格是馬爾可夫，那麼你的決策只關乎此時的股票價格，而不在於其過去的走勢。

可見，鞅代表的是公平博弈遊戲，馬爾可夫過程則側重過程的「無記憶性」，兩者沒有太多關聯。但卻說了相似的事情：

鞅：事物當前的信息包含了對其未來做預測所需的全部信息，坐標向右。

馬爾可夫過程：事物當前的信息即包含了有所有歷史的信息，坐標向左。

來看一個關於帶漂移項的布朗運動的例子，現代金融的核心思想之一EMM模型測算風險的方式是：平均來看，股價會上漲（慢牛行情），但會在均值附近上下隨機波動（布朗運動），並且波動的幅度不會超過一個範圍（高斯分布）。

更具體地說，股價以μ的平均速率上升，這叫做漂移。漂移項與μ和時間間隔t有關，代表均值一直在隨時間增加而增加，顯然，如果這是賭博，就意味著期望收益一直在變大，這個遊戲一定是不公平的——因此這個模型不是鞅。

而股價的波動（布朗運動）被稱作擴散。擴散與每年的波動幅度σ和消息的時間間隔t有關。波動性體現的就是市場對新的信息的反映——只有新的信息才會導致價格波動。

但為什麼要加根號呢？因為EMM假設新的信息出現的間隔是相同的，每Δt秒出現一次。好消息會使公司的價值上升一定的百分比，壞消息則降低一個百分比。n個消息帶來的股價波動並不與n成正比，而是與n的平方根成正比，而消息的時間間隔是t，因此股價的波動就跟t的平方根成正比了。

值得一提的是，從數學形式上來看，其單位時間內的獨立增量符合標準正態分布，某時刻z的值的分布符合正態分布。

以上波動性的表達告訴我們，只有未來的信息才能影響到股價，因此，現有股價已經準確反映了所有經濟和市場已有的信息——顯然，這是馬爾可夫過程。

EMM作為古典金融理論體系的一員，另一個特點在於：模型是基於高斯的正態分布，主要的原因就是Bachelier關於股票價格改變的假設——股票的價格變動很小，平均而言不會超出高斯標準差的區間。因此，平均來看，股價會上漲，但會在均值附近上下隨機波動，並且波動的幅度不會超過一個範圍。

這個觀點下，長期的股價將只由漂移來決定——這就是EMM模型測算風險的方式。可見，EMM模型是馬爾可夫過程，但卻不是鞅，這意味著馬爾可夫過程和鞅是兩個不同的概念。但後來人們發現，即便「兩者沒有太多關聯」卻並不意味著「兩者沒有交集」。

沒錯，後來人們的確得到了關於這個交集的有趣的發現——是從以19世紀蘇格蘭植物學家羅伯特·布朗命名的「布朗運動」開始的——雖然EMM模型是「馬爾可夫過程」不是「鞅」，但「布朗運動」卻既是「鞅」，也是「馬爾可夫過程」。

貳

布朗運動與現代金融

蘇格蘭植物學家羅伯特·布朗曾研究過細小的花粉粒在水中的不規則運動，這與隨機遊走的表現非常相似。

此後，畢業於巴黎大學的法國數學家Louis Jean-Baptiste Alphonse Bachelier，在其1900年的博士論文《投機理論》中，首次將布朗運動原理運用於金融資產。

布朗運動的擴散過程，啟發了Bachelier對於債券價格波動方式的理解。他相信兩者都是不可預測的過程，粒子行為或個人行為的細節太過複雜，但整個系統卻可以通過概率的方式研究。

Bachelier被看作是現代數理金融學領域的奠基人。他通過對巴黎股市的研究，提出了有效市場、股價隨機漫步等思想原型。不過，他的貢獻一直未能引起學術界重視，直至50多年後，被薩繆爾森發現才受到大力推崇。

接下來，愛因斯坦受到布朗的啟發，研究分子相互作用，並提出了與Bachelier的形式非常相似的概率方程——這便是隨機遊走的數學表達，但他本人卻不知曉，這只是歷史的一次巧合。

在愛因斯坦的時代，證券價格運動，分子運動，熱傳導等對象，都被相似的數學模型描述出來。

再之後，薩繆爾森和他的學生建立了有效市場理論，EMM，接下來是有價證券組合理論MPT，以及資本資產定價模型CAPM和集大成的期權定價B-S公式。這一系列古典金融理論的基礎，幾乎都根植於Bachelier引入的的布朗運動。

為什麼布朗運動適合用來描述金融資產價格波動？

也許，從布朗運動的數學表達，就能夠看出：

標準的布朗運動的數學描述轉譯過來，可以表達為：如果t=0時，位置為0，那麼在任何有限時間區間Δt內，布朗運動滿足均值為0方差為Δt的正態分布——方差隨時間線性增加。

而且，布朗運動在某一個時間段內位移增量跟其過去的歷史是獨立不相關的——顯然，這正是馬爾可夫過程的表達。許多經濟模型假設某過程具有馬爾可夫性的原因就在於，這樣的假設使得模型得到了極大的簡化，減弱了對信息的依賴性。

利用布朗運動用來描述金融資產的波動，還有一個先天優勢。這就是布朗運動的處處不可微分（求導）的性質非常接近資產價格的波動曲線。布朗運動與任何數學方程表達的軌跡都完全不同，它不連續也不平滑，曲線的轉折非常劇烈，而且這種劇烈程度幾乎不受觀測尺度變化的影響。

布朗運動這種處處不可微分，波動頻繁的特點使得古典微積分理論黯然失色。分析手段的欠缺，迫切需要人們發明新的理論，即給隨機變量也建立一套類似於普通微積分的理論，讓我們能夠像對普通的變量微積分那樣對隨機變量做微積分。

樸素觀點下，如果將股票價格看作布朗運動Bt，則金融衍生品可以被建模為布朗運動的函數f(Bt)，藉助其微分形式df，就可以利用古典微積分的方法，對f(Bt)進行分析研究。但由於布朗運動是處處不可微分的，因此古典積分無法對其求解。

這便是伊藤引理（Ito's lemma）出現的歷史背景——新的發展幾乎完全依賴於數學的進步。

對於布朗運動，即便時間長度趨近於0的極小尺度內，其位移的變化也不為0。其數學性質非常奇特：位移的平方累積（二次變分）始終等於區間的長度——更確切地說，縱軸位移中的微小量平方等於橫軸時間中的微小量——這個微小量的累積在隨機過程當中不可忽略。

伊藤關鍵而重要的一個步驟，就是在古典微積分的後面增加了一個新的額外項——二次變分。二次變分作為布朗運動的核心特質，被計入到隨機過程當中。通過二次變分，伊藤巧妙地改變了微積分的處理方式，建立了"伊藤過程"——雖然只是微小的變化，但卻是一個質的飛躍。

"伊藤過程"被看作是兼顧了漂移和擴散過程的數學化表達——帶有布朗運動"幹擾項"的隨機微分方程。伊藤引理實際上，是將布朗運動理解為隨機幹擾，從而賦予了布朗運動更一般的意義。

自此，可以利用幾何布朗運動模擬股票價格S——這是一個伊藤過程。

進一步地，如果對其對數形式f=lnS，應用伊藤引理寫出df的表達，那麼這個表達恰好也是一個帶漂移項的布朗運動形式——在一個漂移的"線性趨勢"上疊加了一個擴散的"噪音"的伊藤過程。

這裡所謂的幾何布朗運動，是金融數學中的概念，與描述傳統的微粒無規則運動的布朗運動之間，只差一個對數變換——也就是說，幾何布朗運動的對數是布朗運動。據此，一個伊藤過程的對數函數也是一個伊藤過程——它們基於的都是同一個布朗運動。

由於股票價格S這個隨機變量，其對數lnS作為布朗運動滿足正態分布，因而，股票價格S將滿足對數正態分布。

最終，從幾何布朗運動出發，就得出了股價滿足對數正態分布的結論——我們可以說，給定當前股票價格的前提下，股票在未來的價格服從幾何布朗運動，股票在未來特定時刻的價格服從對數正態分布。

叄

複製與對衝

假設你買了一張票（期權），在時間t=0時，你有權利在到期時間T之前購買一股股票，如果你能夠以一個固定的價格K來行使這個期權，這個價格就被稱為期權價格。如果只能在到期日行權，這個期權就是歐式期權；如果在到期日之前都可以行權，這個期權就是美式期權。

拋開這個枯燥的定義，期權本質上就是押漲價還是押降價（或者其更複雜的操作，押波動性）。如果你看漲一支股票，後來價格真的漲了，你就賺錢。如果股票跌了，那你就只犧牲掉購買期權的費用。看跌的情況與之類似。整個過程中，你都不會「持有」股票，這裡交易的是持有股票的「權利」。

雖然期權在18世紀被發明，但由於價格的不透明，發展一直受限。在交易過程中，由於不能連續報價，期權還不是一種"標準化的合約"，市場的流動性受到很大的限制。客戶經常會問：我怎麼知道自己的指令成交在最公平的價位上呢？

布朗運動和伊藤微積分為這個問題給出了一個數學形式上的完美答案。來看這樣三個表達：

股票的價格可以被看作是一個伊藤過程

期權的價格可以被看作是一個伊藤過程

伊藤微積分的應用告訴我們，一個伊藤過程的函數也是一個伊藤過程，它們來自同一個布朗運動。

期權和股票價格之間，冥冥之中，存在著一種奇妙的關聯。於是有人思考：

結合以上三點，肯定能夠得到一個股票價格和期權價格之間不含隨機性的確定性函數表達，這樣一來，不就能夠將布朗運動的隨機性抵消掉嘛？

這個想法是頗具顛覆性的：隨機性是風險資產的屬性，但藉助伊藤微積分，隨機性突然間消失了！換句話說，如果將股票和期權放入一個資產組合，利用期權和股票之間能夠消除隨機性的函數關係"對衝"，我們就得到了一個完全沒有風險的資產組合。

沒錯，這便是1973年，Black，Scholes和Merton利用隨機微積分工具為風險資產（股票價格，股票指數，匯率，利率等等）所建立的BSM模型。從1973年開始，看漲期權，看跌期權，股票指數期貨期權等，先後在芝加哥期權交易所和紐約期貨交易所掛牌交易，這個公式帶來了金融期權市場和商品期權市場的巨大繁榮。

用C代表期權價格，S代表股票價格的話，這個關係非常簡潔：

按照這一公式，每做空一份期權，就要做多 C/ S份股票，這種在Δt內完美消除布朗運動隨機性，構建投資組合的方式，就被叫做Delta對衝。

藉助Delta對衝，金融領域內廣泛採用的隨機微分方程一下子改頭換面，變成了純粹的（非隨機）微分方程，這就是著名的BSM微分方程：

這個模型闡述了期權的價值 (C)同時包含了股價(S)，股票的風險(波動率σ)和無風險利率r(借錢的利息)。這個公式裡還加入了金融的折現概念(時間t)，以體現金融衍生品在時間上的價值，而它們均與 險選擇無關。

除了股票價格波動率σ外（根據使用者的不同取值會有區別），其它參數的取值都比較確定。這就帶來了另一種應用：根據期權的實際交易價格，和BSM公式反推出波動率——即隱含波動率。其中最有名的例子就是芝加哥期權交易所的VIX恐慌指數了——它通常代表了市場對於 險的普遍觀點。

重要的是，BSM公式告訴我們，有兩種在股市進行投資的對象——股票和期權。

靜態來看，任何時候你都可以把期權變成股票。BSM模型能告訴我們，在任意時刻，該用多少股票來代替期權，可以使總的風險不變。股票的風險和期權的風險是高度相關的，將兩者的風險畫上等號，就給定價提供了很充分的約束條件，就是是該模型有效的原因。

以看漲期權為例，它的價值隨著股價的上升而上升，隨之股價的下跌而下跌。利用BSM公式，它會告訴你最初要買入多少股票，在未來的每一刻，每一個價位，還要再買入或賣出多少股票，才可以獲得與期權合同相同的回報。

動態來看，現實中，兩者達到平衡前，投資者總是尋求低買高賣，大量的套利行為上演。當兩者的預期回報率一致的時候，市場就達到了平衡——此時投資者對這兩種產品沒有偏好。

有趣說的是，看漲期權要比看跌期權處理的更多，原因可能在於大多數股票投資者更傾向於看到事情的光明面，因此更經常希望股票價格的上漲而不是下跌。

然而，這種特別的買入看漲期權的傾向並不會使看漲期權變得昂貴，看跌期權更便宜。因為可以證明，行家可以通過在股票中交易，將看跌期權轉換為看漲期權、將看跌期權轉換為看跌期權——任何期權都可以轉換為其他期權。

更進一步地，你甚至還可以尋找一個合適的對衝組合（replicating portfolio）來為一個期權定價，不管最後股票的價格變成了什麼樣子，這個對衝組合與期權之間還是保持一致的——這就是對衝的另一個含義：複製。

可以說，複製（replicate）和對衝（hedge）沒有任何不同——所有的金融衍生品定價理論，根本上都是在用這個方法，它們反反覆覆說的都是同一件事情。

肆

孿生風險中性

如果你有100元錢，這裡有兩個投資選擇：

A：一年後給你120元

B：50%的概率，你能拿到240元，50%的概率你損失所有的錢

他們的預期回報都是120元，前者確定沒有風險，後者損益的風險各半。於是按照不同的選擇，可以把做選擇的人分為三類：

風險厭惡者：選A

風險偏好者：選B

風險中性者：AB隨意

風險中性偏好，也許是BSM模型當中最令人迷惑並讓人誤入歧途的概念了。

諾貝爾委員會在授予該模型諾貝爾獎時，嘉獎詞是這樣說的：「Black、Merton和Scholes做出了重大貢獻，實際上在期權估值時沒有必要使用任何風險溢價。這並不意味著風險溢價消失了；相反，它已經包含在股票價格中了。」

可見，他們的研究成果之所以獲獎，是因為他們把期望收益率μ（跟風險偏好有關）對期權價值的影響消除了，而不是因為把期權看作一個確定性的無風險證券。

總體說來，投資者設定的期望收益率，往往決定著投資者的風險偏好：

投資者設定的期望收益率越高，越是傾向於風險偏好。

投資者設定的期望收益率越低，越是傾向於風險厭惡。

有趣的是，利用複製，或者Delta對衝的思想推導BSM偏微分方程時，發生了「物質湮滅」，不光拿掉了布朗運動，也拿掉了風險偏好。因此，不管投資者的風險偏好如何，都不會影響BSM方程的求解。

以上的結論告訴我們，期權市場的消費者，可以根據風險的厭惡程度對期權定價，但這種主觀意願並不會影響到期權的價格。

這是顯而易見的，日常生活中的保險也是一樣的：保險潛在購買者按自己的風險喜好和厭惡程度給保險產品估值，並作出購買決定，但卻不會影響保險本身的價格——除非購買者刻意買高。

那麼，期權（以及保險）的價格由誰說了算？

不難理解，保險公司的保單要根據大數據的統計概率精算保險的價格，作為報價依據。基於同樣的道理，做市商要依照"複製"期權的成本決定市場上期權的價格，而不是其它。

巧合的是，為了計算期權價格，這裡有一個內涵與前一個「風險中性」完全不同，但名稱卻幾乎完全一致的「風險中性測度」的概念——只是不知道這是歷史的巧合，還是有人故意混淆視聽了。

"風險中性測度"是一個工具——如果用更晦澀的詞彙解釋，它本質上是一個"等價鞅測度"，在深入理解這個概念之前，我們只需了解引入它的目的：尋找合適的對衝組合來為金融衍生品定價——你可能會意識到，這不就是"複製"嘛！

的確，這裡的"複製"似乎有個雙重含義：為了找到對衝資產"複製"衍生品定價，"測度"概念更是"複製"了一個現實世界的"虛擬人生"副本。可這又是什麼意思呢？

想像一隻股票，漲跌的概率是均等的，各佔50%。當你想要計算這個資產的價格時，金融師告訴你，應該利用未來的預期回報來計算貼現價值，但是，他無法幫你計算，因為你要根據自己對風險的喜好或者厭惡程度制定一個貼現利率——這裡沒有標準答案，每個人給出的貼現率都會是主觀決定的，沒有普遍真理。

作為金融小白的你於是你犯了難，不得不去求教另一位金融大師。

這位金融大師細心琢磨了一下，說，不如這樣，我給你建個模型副本，參數都給你調好了，你直接用就行。這個副本在數學上非常完美，只要把現實世界映射到這個虛擬世界當中，你手裡的股票就立刻變成了無風險資產，直接用設定好的無風險利率r貼現，就不需要你自己做選擇題了。

這個工具就叫做"風險中性測度"，這個映射的過程，就叫做"測度變換"。

測度變換可以被看作調整概率：你可以按照自己的喜好把好事發生的概率人為的調高點兒，把壞事發生的概率調小點兒。在概率上動動手腳，你就不用再想著怎麼改貼現利率了，是不是很簡單？

風險中性測度把現實世界的概率進行了調整，從而可以用無風險利率r來折現，不需要去估計真實世界中的期權的折現率。當然你不能隨意亂調概率，否則這個模型就沒有意義了，你要讓變換前後的世界對你研究的問題觀點一致——這就是等價測度的含義了。

變換測度的目是要給風險資產定價，如果給定風險中性測度，風險資產在這個測度下有一些好的性質——比如風險資產在這個新的虛擬世界裡是個鞅，未來的預期就等於現在的價格，就可以大大簡化估計和計算的難度，最後我再把這個結果映射回現實世界，就能"無中生有"，帶給我新的見解。

更具體的，比如股票和期權兩種資產在風險中性測度下服從伊藤過程，一個資產以另一個資產為計價單位，並且風險價格在該資產的波動率測度下是個鞅（drift漂移項等於零）——這個嚴格約束的"模型"裡，就有很好的性質可以拿來做定價——這就是"等價鞅測度"的概念了。你不用靠猜的方式"調參"，可以把一切難題交給數學模型幫你來定義。

總而言之，風險中性測度定價是通過尋找等價鞅測度，把現實世界裡的風險概率（P-測度）轉換到等價的風險中性虛擬世界（Q-測度），並求解期望值——這本來就是一種簡化計算的方法。

風險中性測度的概念裡，我們沒有找到風險中性的世界觀，也沒有找到風險中性的投資者，風險中性是對數學計算中一個巧合的公式的形象化叫法，而不是真實的心理選擇。這裡的「風險中性」只代表了數學求解的一個工具和技巧的「假名」，是數學家預埋的一個彩蛋——風險中性測度作為"複製原理"的數學演化，它們是一脈相承的。

更進一步，按照美國經濟學家Ross提出的資產定價基本定理：

如果一個市場模型有一個風險中性的測度，那麼它就不允許套利。

完備市場的假設裡通常只有一個價格，即一種對衝組合，而通過風險中性測度，就能夠很容易地找到這個組合的價格。

這個意思是說：

無套利基本上是跟著風險中性走的。

完備的市場意味著那裡的衍生品可以完全被對衝（複製），存在唯一解。

而BSM模型裡已經有了那麼多的假設條件，已經同時滿足了兩個定理。

因此必然存在一個唯一的風險中性測度——通過這個風險中性測度求期望值，就可以得到那個唯一的結果。

如果你更喜歡經濟學人性的一面，可能會更能接受現實世界當中，人們偏向於風險厭惡的現實。如果從風險厭惡推導而不是風險中性，那麼折現利率就不能用無風險利率r了——需要一個比r更高的折現利率，同時資產價格也要相應下調。但這樣並不可取——會妨礙後續求解。

當然，除了無套利定價之外，還可以採用均衡定價的方式，設定更具偏好的風險取向——但在這個路徑下計算也很繁瑣複雜，而且，在完備市場當中，兩種定價的效果基本是一致的，因此均衡定價的方式很少被採納。

很多人喜歡以開篇那個倚重個人心理的風險決策的故事作為談資，並常常模糊了"風險中性"在心理決策與數學領域之間明確的邊界。因此經常會有人問出這樣額問題：沒有風險中性，BSM也成立嘛？

答案是肯定的：

決策心理上的風險中性已經被複製和對衝機制"湮滅"掉了——但沒什麼卵用，因為投資者作為買方，根本不會影響到資產定價——除非你願意多花錢。更何況，現實的投資者並非是風險中性的——為什麼要研究一個並不成立的假設呢？

源於"複製"觀點的風險中性測度作為資產定價可選的一種方法（非唯一，比如還可以用二叉樹數值求解BSM偏微分方程），只是數學推導的產物，也不是BSM成立的前提條件。

也許是後者數學上的艱深，讓人們更傾向於尋求前者心理學上的解釋。但即便是前者，也被廣泛地誤讀了。