數學家可以預言一切「一」曆法，足球，二次方程

如果時間旅行是可能的，那麼預測未來就很容易了，我只要去未來看一眼就知道以後會發生什麼。然而，遺憾的是，我們還不知道如何穿越時間，而人們聲稱的那些能夠預測未來的方式，如水晶球或佔卜佔星術，並無法完全被證實是可信的。然而如果你真的想知道明天、明年或下一個千年將會發生什麼，你最好的選擇是學習數學！

數學可以預測地球是否會被小行星撞擊，太陽會持續燃燒多久。我們有方程式可以解釋各種自然社會現象，例如，天氣，人口增長，足球被踢到空中後的運動軌跡。儘管仍有一些事情難以預測，但其根源在於有些方程我們不知道如何解，而不是數學不能預測。

數學預測未來的能力賦予了那些懂數學語言的人巨大的力量。從能夠預測夜空中行星運動的古代天文學家，到今天能夠預測股票市場價格運動的對衝基金經理，人們用數學來窺見未來。數學的力量得到了希波主教、聖師聖奧古斯丁的認可，他警告說:「當心數學家，以及所有那些做空洞預言的人。危險已經存在，數學家們已經和魔鬼訂立了契約，使靈魂變得黑暗，把人關在地獄的枷鎖裡。」

誠然，一些現代數學極其困難，但它的實踐者並沒有讓我們蒙在天外，而是不斷地尋找新思路，以揭示未來的事件。

數學拯救了丁丁

在埃爾熱的連環漫畫《丁丁歷險記之太陽的囚徒》中，年輕的比利時記者丁丁在太陽神神廟裡迷路後被一個印加部落抓了起來。印加人將丁丁和他的朋友阿道克船長以及一位數學教授綁在火刑柱，準備燒死他們。他們準備用一個放大鏡來點火，並允許丁丁選擇他們的死亡時間。

丁丁歷險記之太陽的囚徒

丁丁算了算，知道幾天後這個地區將會發生日食，所以他選擇了他們死亡的時間與日食重合。實際上，這是別人做的計算，他是在剪報上看到這個預言的。在日食即將來臨的時候，丁丁喊道：「太陽神不會聽到你的祈禱！哦，壯麗的太陽，如果你願意我們活下去，現在給我們一個兆頭吧！」而結局是正如數學預測的那樣，太陽消失了，受到驚嚇的部落族人釋放了丁丁和他的朋友們。

丁丁歷險記之太陽的囚徒

哥倫布的智慧

《太陽的囚徒》中的故事是基於歷史上一個著名事件，探險家克里斯多福·哥倫布在1503年利用月食（而不是日食）拯救了被困在牙買加的船員。當地居民起初很友好，但最終變得充滿敵意，拒絕向哥倫布和他的船員提供給養。

哥倫布想出了一個狡猾的計劃。他查閱了他的年曆，一本記載了潮汐、月亮周期和水手用來導航的星星位置的書，發現月食將在1504年2月29日發生。哥倫布在事件發生前三天召集了當地居民，並威脅他們說：如果他們不提供給養，他就會讓月亮消失。

然而當地人不相信哥倫布有能力讓月亮消失。在2月29日的晚上，當月亮升到地平線上的時候，他們看到月亮上已經咬掉了一塊。根據哥倫布的兒子費迪南德的說法，當月亮從夜空中消失時，當地人變得害怕起來，「伴隨著巨大的嚎叫和慟哭，從四面八方奔向滿載糧食的船隻，向海軍上將祈禱，為他們的利益向上帝求情。」

經過精確計算，哥倫布赦免當地人的時間正好是月球逐漸出現的時候。這個故事可能是杜撰的，也可能是西班牙人為了對比聰明的歐洲徵服者和無知的當地人而編造的。但在其核心，它顯示了數學的力量。

陰曆與陽曆

數學是一門發現模式的科學，這就是數學如何賦予我們展望未來的能力。早期的天文學家凝視夜空，很快意識到月亮、太陽和行星的運動是重複的。許多文化使用這些天體作為記錄時間流逝的一種方式，這就是曆法。

利用太陽編纂的曆法共有的基本時間單位是24小時。這並不是地球自轉一次所需的時間，它比這要少一點：23小時56分4秒。如果我們用這個稍微短一點的周期作為一天的長度，我們的時鐘和旋轉的地球會變得越來越不同步，因為所有這些額外的3分56秒累積起來，最後會導致時鐘上的正午將出現在午夜。

因此，出於計時的目的，我們定義一天（或者，使用正確的術語，一個太陽日）為太陽從地球表面的同一點返回到天空中同一位置所需的時間。在完成一次完整的自轉的同時，地球還會繞太陽公轉，這使得我們還需等待大約3分56秒太陽才會回到天空中的同一點。因此24小時的選擇非常合適。

地球繞太陽一周需要365.2422個太陽日。大多數國家使用的日曆非常接近這個周期。0.2422大約是四分之一，所以每四年我們需要在日曆上增加一天，使公曆與地球繞太陽公轉保持同步。但是，0.2422並不等於0.25，我們還需要校正：每100年，我們會跳過一個閏年，但每400年，我們會取消這個跳過。

除去陽曆，還有很多地區使用月亮記年的陰曆，比如伊斯蘭的曆法使用的就是月亮的周期。他們的基本單位是一個太陰月，也就是月亮繞行地球的周期。一個太陰月的開始是由麥加出現的新月決定的。一個月亮變化的周期大約是29.53天，這使得一個陰曆年比一個太陽年少了11天。365除以11大約等於33，所以齋月每33年在太陽曆中循環一次。

猶太曆法和中國曆法將陽曆和陰曆混合搭配，大約每三年會增加一個閏月，而計算的關鍵是一個神奇的數字19。19個太陽年（=19×365.2422天）與235個太陰月(= 235×29.53天)幾乎完全吻合。中國的農曆中每19年有7個閏年，以保持農曆和陽曆同步。

下一次月食是什麼時候?

好了，在了解過這些曆法規則後，我們就可以討論預測了。如果你知道一個月食的時間，那麼就可以使用數學方程來計算出另一個月食的時間。而這些計算依賴於兩個重要的數字。

第一個是月球繞地球一圈再回到相對於太陽的相同位置所需要的平均時間，大約是29.5306天，而這也是兩個新月之間的平均時間。而另一個則與交點月有關。

由於月球繞地球的軌道相對於地球繞太陽的軌道是稍微傾斜的，這兩個軌道有兩個交叉點，而交點月是指月亮從一個交點出發，通過另一個交點再回到起始點所需要的平均時間，大約為27.2122天。

我們記S=29.5306，D=27.2122。如果你能夠找到一對整數A和B，使得AxS非常接近於BxD，那麼這個數字就是自上次月食發生之後再次發生月食的間隔天數。這個數字可以一直用下去，但因為這是個近似等式，因此月食最終會越來越少，直到太陽、月亮和地球不再對齊，這時這個數字周期就結束了。

舉個例子：A=223 B=242，周期是223×29.5306≈242×27.2122≈6,585天，也就是大約18年11天8小時。8小時的區別在於接下來的兩次這樣的月食將會在地球表面的不同位置被觀測到。然而，3x8=24，因此第三次月食將會發生在同一地點。

伽利略的實驗

數學對天體運行的預測能力依賴於這些現象的重複發生，在某種程度上可以說這是舊事物的再現。但是我們怎麼能預測新事物呢？我們可以舉一個簡單的例子，使用數學方程來預測簡單物體的運動，比如足球。

大衛·斯科特在月球上扔下地質錘和獵鷹羽毛

正如義大利科學家伽利略在比薩斜塔所證明的，物體的重量與它落下的速度無關，真正起作用的是空氣阻力。1971年，阿波羅15號登月任務的指揮官大衛·斯科特通過扔下地質錘和獵鷹羽毛，在空氣極其稀薄的月球上重現了伽利略的實驗。由於月球的引力較小，空氣阻力又可以忽略不計，因此它們慢慢地同時著地，正如伽利略所預測的那樣。

在發現了下落物體的重量與其速度無關後，伽利略就想看看他是否能預測物體撞擊地面的時間。物體從傾斜塔頂上落下的速度太快，無法精確計時，所以伽利略決定把球滾下斜坡，看看速度如何變化。他發現，如果一個球在1秒後滾動了1個單位的距離，那麼2秒後它將走4個單位的距離，3秒後它將走9個單位。然後他就可以預測，在4秒後，球應該總共走了16個單位的距離。

伽利略的斜坡

換句話說，一個物體下落的距離與它下落時間的平方成正比。如果利用數學符號，記d為落下的距離，t為時間。因子g被稱為重力加速度，那麼會得到一個自由落體公式：

伽利略的公式是最早用數學方程來描述自然的例子之一，這些後來被稱為物理定律。

利用公式預測物體運動

使用數學公式描述物體運動徹底改變了我們理解世界的方式。在此之前，人們使用日常語言來描述自然，這是很模糊的。你可以說某物正在墜落，但你不能說它何時會到達地面。而用數學的語言，人們不僅可以更精確地描述自然，還可以預測它在未來的行為方式。

足球場上，你同樣可以計算「將要發生」的事情。梅西的每次射門都可以通過解方程來描述進球線路，C羅的任意球也可以通過解方程計算出其角度和落點。

當然，你需要知道很多初始值，比如足球的大小，硬度，踢球的人的力度，出球角度等等。方程式就像菜譜，只要把這些材料輸入，你就會得到一個結果。

我們以一個簡單模型為例：比如我們知道球的水平速度u和垂直速度v，地球的重力加速度g。假設足球水平運行距離是x，而離地高度是y，那麼我們就得到一個方程：

一旦我們知道y，也就是球的飛行高度，就能夠求出x，也就是球的落地點。這類方程是我們在學校裡都學過的二次方程，而求解這種方程似乎也很容易。

古巴比倫人的妙解

最早開始解這種方程的人是古巴比倫人，當然他們的二次方程並不是為了描述足球的軌跡，而是為了測量幼發拉底河周圍的土地。因為很多土地是正方形的，其面積就出現了二次方。但巴比倫人解方程的方法十分巧妙。

我們舉一個例子。如果一個矩形田地的面積是55平方單位，一條邊比另一條短6個單位，那麼長邊有多長？一般我們稱長邊為x，那麼這個問題就化為一個方程：

巴比倫人用一個巧妙的方法求出了x。他們首先從矩形的末端切出一個3×(x-6)的小矩形，然後移動到矩形的底部。整個面積沒有變，只是形狀變了。新的形狀幾乎是一個正方形，每條邊長為（x-3），但在右下角少了一個3×3的小正方形。

如果我們加上這個小正方形，我們就把這個形狀的面積增加了9個單位。因此這個大正方形的面積是55+9=64。而64的平方根就是大正方形的邊長，很容易求出這是8。所以x-3=8，也就是x=11。

雖然巴比倫人只是在移動成塊的土地，但這件事情背後，隱藏著一種解開這些二次方程的一般方法。

代數方程的出現

當代數在9世紀的伊拉克被創造出來時，數學公式就可以被記錄下來了。代數是由巴格達智慧之家的學者阿布·阿卜杜拉·穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米開創的。

阿布·阿卜杜拉·穆罕默德·伊本·穆薩·花拉子米

智慧之家是當時頂尖的知識分子中心，吸引了世界各地的學者來研究天文學、醫學、化學、動物學、地理學、鍊金術、佔星術和數學。穆斯林學者收集並翻譯了許多古代文本，有效地將它們傳給後世。可以說如果沒有這些工作，我們可能永遠不會了解希臘、埃及、巴比倫和印度的古代文化。然而，智慧之家的學者們並不滿足於翻譯別人的數學。他們想創造自己的數學，並推動這一學科向前發展。

代數的出現將古巴比倫人的方法公式化

在伊斯蘭帝國的早期，求知慾得到了積極的鼓勵。《古蘭經》教導說，世俗的知識使人們更接近神聖的知識。事實上，伊斯蘭教需要數學技能，因為虔誠的穆斯林需要計算祈禱的時間，需要知道向麥加祈禱的方向。

花拉子米的代數改變了數學。代數是一種解釋數字行為背後的模式的語言，它的語法是數字相互作用的基礎。有點像運行程序的代碼，它將處理輸入到程序中的任何數字。雖然古巴比倫人已經設計了一個聰明的方法來解特定的二次方程，但花拉子米的代數公式，最終給出了一個方法，可以用來解任何二次方程。而這也使得我們能夠解決足球中的預測問題。

（未完待續）