硬核科普：什麼是拓撲？

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「橡皮泥幾何」 入門

我在大學學習拓撲時，總是不可避免地會遇到朋友和親戚們的提問：

「拓撲到底是什麼？」

這個問題很難回答，每次我都會給出略有不同的答案，但是答案總是不那麼令人滿意。如果你曾經在網上搜索過拓撲，你肯定會遇到將甜甜圈變成咖啡杯的動畫，同樣，我給出的答案也都與此相關：為什麼甜甜圈跟咖啡杯在拓撲結構上是一樣的，立方體和球體拓撲上也是一樣的。但是這樣的答案並不能真正解釋真實的拓撲是什麼，拓撲怎麼應用以及其真正的價值是什麼。

著名的咖啡杯和甜甜圈動畫 | wiki

如果你有學到一般拓撲學的本科課程，可能會難以將所學的東西跟熟悉的甜甜圈和咖啡杯動畫聯繫起來。這篇文章的目的是建立一般拓撲的基本概念，並說明拓撲跟熟悉的動畫以及其他幾何思想之間的聯繫。接下來，我們來了解，為什麼將甜甜圈和咖啡杯視為一樣的東西會是有用、有價值的。

總的來說，我發現很多人（包括我自己）都在努力嘗試去理解：怎麼才能將抽象的數學應用到實際的現實中。在了解拓撲的基本思想之後，我們可以重新思考真實世界，也許會產生出乎意料的結果。在此之前，我們將介紹拓撲的基本概念，這也是了解拓撲必不可少的定義。

拓撲空間

拓撲空間是具有最基本的結構的一組數學對象。數學中的結構通常意味著：數學對象之間的相加、相乘、距離或其他的概念。顯然，這些結構適用於我們日常中遇到的數字。

但是，拓撲空間的結構比加法、乘法和距離的思想更加基本。事實上，這些數字所在的空間是拓撲空間的一個特定情況，也就是說，實數實際上是拓撲空間的一個特殊情況。

拓撲空間上的結構稱為空間拓撲。所有的拓撲都是數學對象的子集的集合，稱為空間的「開集」。拓撲中包含的特定集合定義了空間的結構，這概念似乎很模糊和抽象，這是因為事實就是如此，這是數學中最抽象的結構形式。

當然，你不必完全理解此定義，只需記住拓撲及其內部的「開集」可以確定空間的結構。同樣重要的是，使一個拓撲空間與另一個拓撲空間區分開的，是我們選擇放入該空間拓撲中的集合。如果你感興趣的話，以下是拓撲更加正式的定義。

拓撲空間定義

拓撲空間（X，τ）的數學對象集合是 X，空間拓撲是 τ，τ 包含 X 的一系列子集，滿足下列條件：

1. X 和空集包含在 τ 中。

2. τ 中集合的任何併集也在 τ 中。

3. τ 中集合的任何有限交集也都在 τ 中。

那麼，這怎麼跟甜甜圈和咖啡杯聯繫起來呢？

通常，拓撲空間可以通過幾何對象（例如球體）可視化：

圖1 ：球體

表示球體的拓撲空間是一些點的集合，如果將它們繪製在三維空間中，它們將構成一個球體以及一個拓撲。如前所述，拓撲定義了空間的結構，正是空間拓撲讓這個球聚在一起不散開。我們可以將拓撲想像為「使所有點都不會掉落到地面上的事物」，它讓球體保持單個物體的狀態，而不僅僅是兩個半球擠在一起。現在，設想一個如下圖所示的拓撲空間：

圖2：橢球

假設上面的球體（圖1）是用橡皮泥製成的，那麼我們可以輕鬆地將球體拉伸變成另一個對象橢球（圖2）。三維對象能夠執行此操作意味著這兩個對象在拓撲上是相同（等價）的。這可能看起來很奇怪，但是仔細想一想，這兩種形狀有什麼不同？雖然它們看起來不同，但是如果我們可以輕鬆地將它們擠壓或拉伸實現形狀的變化，它們是否真的是獨特的？

這兩個對象具有相同的拓撲，這意味著，即使這兩個對象在幾何形狀上有所不同，但它們在拓撲上完全等價。我們可以將橡皮泥拉伸成可以想像的任何奇怪形狀，但在拓撲結構世界中，所有這些形狀都完全相同。也許你對拉伸的形狀沒有什麼概念，但是關於如何拉伸橡皮泥的遊戲有一些規則：

1. 不允許在橡皮泥上打洞；

2. 不允許將橡皮泥上的兩點捏合在一起（我們沒法將球形的橡皮泥做成甜甜圈的形狀）。

如果我們在拉伸時違反了這些規則，那麼這兩個對象在拓撲上將不再等價。拓撲學家稱這種不破壞既定規則的拉伸為同胚，這只是一種數學上精確地描述如何讓橡皮泥的形狀保持相同拓撲性質的方法。因此，如果我們可以得出兩個拓撲空間之間的同胚性，則這些空間具有相同的拓撲，這就說到了咖啡杯和甜甜圈動畫。

我們可以提供一個描述甜甜圈的拓撲空間，然後想像我們的甜甜圈是由橡皮泥製成的，然後在不破壞規則的情況下，將其拉伸到咖啡杯的形狀。所以，是的，在拓撲結構上，咖啡杯和甜甜圈是同一件事。

圖3：看起來不特別美味的甜甜圈

為什麼球體不是甜甜圈？

現在，我們知道了如何判斷兩個對象在拓撲中的一致性，現在我們來看一下如何判斷其在拓撲中的差異性。拓撲空間具有許多可以區分它們的不同屬性。對於三維對象，例如球體和甜甜圈，我們可以用來區分二者的主要是它們具有的孔數。如果一個對象比另一個對象具有更多的孔，則二者在拓撲上是不同的。這是因為它們違反了我們先前建立的拉伸橡皮泥的規則。要造出一個孔，我們要麼在橡皮泥上撕出一個洞，要麼將橡皮泥拉伸成一個甜甜圈形狀，然後將兩端合併在一起。

圖4：我們可以將橡皮泥球塑造成甜甜圈形狀，但是在不違反規則的情況下，邊線不能融合在一起。當我們將其彎曲成甜甜圈時，通心粉形狀的兩個圓形面仍然存在。

在拓撲上區分三維對象的另一種常用方法是，想像在三維對象上面行走。例如，在球體上行走。假設你從某個點開始，一直繞著球體上的一個大圓圈行走，當你再次到達同一點後，可以沿任一方向旋轉90度，然後繞著另一個大圓圈走。在繞球的第二圈中，你將穿越第一條路徑。無論你在球面上的哪一點上執行此操作，都會發生這種情況。

圖5：具有兩條相交路徑的球體

在與球體拓撲等價的任何三維對象上也會發生這種現象。但是，在某些拓撲上與球體不等價的對象上，有方法可以做到這一點而不穿越第一條路徑，你可以在甜甜圈上看到這個現象。

圖6：如果我們從藍色和綠色路徑相交的地方開始，然後沿著綠色路逕行走，這條路徑跟我們已經走過的地方不相交。

對於拓撲等價的對象，他們的許多拓撲性質都是相同的；對於拓撲不等價的對象，這些拓撲性質則不一定相同。這些拓撲性質，就是用於確定兩個對象拓撲等價與否的重要工具。

其他的拓撲對象

到目前為止，我們僅討論了可以在3維中可視化的拓撲空間，但拓撲的一個優勢是，它允許我們使用同樣的方法輕鬆地描述4、5或更高維中存在的對象。

此類拓撲結構中經常出場的是克萊因瓶：

圖7：三維空間中克萊因瓶的表示 | youtube：Numberphile

嚴格來說，我們實際上無法在三維空間中觀察到真正的克萊因瓶，但是通過允許其自身交叉，我們可以對它的性質有所了解。在四維空間中，該對象實際上並不與自身交叉。很難想像的是，它會在第四維度彎曲以重新連接到自身。克萊因瓶看起來像有內外兩側，但是你可以從一個特定點沿一條連續的路徑走，你將經過克萊因瓶的「外部」和「內部」，最後回到原始點，這說明克萊因瓶的3D表示在拓撲上是同一個面。因此，克萊因瓶沒有容積。

但是，關於克萊因瓶上的路徑的一個有趣的事情是，如果沿著上述路逕行走，當你返回到原始位置時，你實際上將成為自己的鏡像。這是與克萊因瓶在拓撲上等效（或同胚）的對象的拓撲屬性。顯然，克萊因瓶對球體或甜甜圈不是同胚的，因為無論我們在球體或甜甜圈上行走的方式如何，當我們回到起點時，我們都不會成為自己的鏡像。如果對象具有成為自己鏡像的這種屬性，則將它們稱為不可定向的。克萊因瓶不可定向，球形和甜甜圈可定向。另一個著名的不可定向表面是莫比烏斯帶，這個很容易用紙條製作，網上也有很多教程。

當螃蟹在莫比烏斯帶上行走並返回其原始位置時，它就是其自身的鏡像。資料來源：Wikimedia Commons

儘管莫比烏斯帶不可定向，但它在拓撲結構上不等同於克萊因瓶，而且其結構是一個整體。雖然可以通過將兩個莫比烏斯條的邊緣粘合在一起來構造克萊因瓶，但實際上在三維空間中這樣做是不可能的（你可以嘗試）。

用一張紙構造一個甜甜圈

研究在三維空間中難以可視化的對象（例如克萊因瓶）的拓撲的一種更實用的方法是考慮其粘合圖，粘合圖通過拉伸和粘合2D形狀的邊緣的方式，來指導我們如何構造具有特定拓撲的對象。

在考慮複雜形狀的粘合圖之前，首先考慮一個更簡單形狀的粘合圖，甜甜圈：

圖7：甜甜圈的粘貼圖

我們假設圖中的正方形是用橡皮泥製成的，然後想像一下拉伸正方形讓對側的邊緣附著在一起或粘貼起來。當我們將這些邊緣粘合在一起時，我們需要箭頭指向同一方向。因此，我們將上圖擴展如下：

圖8：如何從其粘合圖構造甜甜圈

下一個圖類似於圖 7，除了兩個紅色箭頭現在處於相反的方向。這意味著我們需要扭曲對象，以便在將邊緣膠合在一起之前，箭頭指向同一方向：

圖9 ：更複雜的粘合圖

上圖粘合圖中的第一步是拉伸正方形，使兩條藍線相交，然後我們構造一個圓柱體，就像構建甜甜圈的第一步一樣。甜甜圈粘合的紅色箭頭指向相同的方向，而現在，這兩個紅色箭頭則指向相反的方向。這意味著我們必須以某種方式扭轉圓柱體的一端，以使箭頭在將它們膠合在一起之前指向相同的方向。你可能會想到，這在物理上是不可能的。因此，由該粘合圖產生的表面在物理上也是不可能的。但是實際上，這是我們已經見過的物理上不可能的表面，克萊因瓶！

Source: Fouriest Series on tumblr

粘合圖是查看對象是否可定向的簡單方法。我們可以想像在粘合圖上行走與在「吃豆人」中的原理類似，當吃豆人到達世界的一側時，它可以從另一側出來。如果我們想像吃豆人在粘合圖上移動，當它進入一側時，它將從同一顏色的另一側冒出來，而箭頭確定了它前進的方向。

假設吃豆人進入圓環粘合圖的右側，那麼它將從左側出現。這就是正常「吃豆人」世界的拓撲工作方式。

圖10：吃豆人在圓環上行走

現在假設吃豆人進入了克萊因瓶粘合圖的右側，然後，吃豆人將在左側出現，但上下顛倒了：

圖11：吃豆人在克萊恩瓶上行走

由以上分析可知: 粘合圖能使我們輕鬆考慮對象的某些拓撲屬性，如果沒有粘合圖，這些屬性將難以理解和利用。

拓撲為什麼有用？

實際上，拓撲在統計領域中非常有用。統計學中一個新興的研究領域是拓撲數據分析。有用的數據通常具有某種結構，這些結構具有某種規律或趨勢，而數據分析本質上是揭示此結構的過程。在數據中尋找結構通常取決於我們如何看待數據，即：使用什麼統計檢驗，將哪些變量與其他變量進行比較以及使用哪些可視化表示。

從拓撲結構中，我們知道看起來完全不同的事物實際上可以具有相同的結構。這個想法也可以應用於數據，因為即使在處理相同的數據，若看待數據的角度不同，它們看起來也可能完全不同。

在拓撲數據分析中，數據的結構將會進行拓撲處理。我們知道，拓撲屬性是在不改變其拓撲性質的變換過程中保持不變的屬性。因此，在對數據進行拓撲數據分析時，我們主要尋找在經過各種處理方式之後保持不變的屬性，這個過程可以類比於像拉伸橡皮泥一樣拉伸數據。通過這種方式，我們可以確定數據的真實結構，並且不再依賴數據的觀察方式。

這只是所謂的「現實世界」中許多拓撲應用之一。其他拓撲應用程式還涉及看起來不同的事物實際上是否是相同的問題，這個問題在處理經由不同的人、不同方式表述的同樣的信息中非常重要。具有不同的表示方式的幾種情況有：分子結構、地理圖、DNA結構和繩結等等。

雖然最初可能很難看清，但是拓撲是大多數數學領域的基礎。確切定義拓撲的「使用方式」非常困難，因為它的存在在數學的工作方式中根深蒂固，以至於我們甚至都沒有注意到我們正在使用它。直到最近，拓撲學才成為獨立於其他數學領域的學科，不斷湧現出新的研究成果和應用。

作者：Luke Cooper

翻譯：Nuor

審校：xux

原文連結：

https://medium.com/cantors-paradise/what-is-topology-963ef4cc6365

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編輯：aki