所謂「對稱」，就是某一事物和另一事物具有一一對應的關係（比如說左右對稱）。在數學當中，找出對稱性，並利用它來解題是非常重要的。 拿到一個幾何圖形或算式，找出和它相對稱的幾何圖形或算式，從而通過整個「整體」，獲得大量的信息，然後根據所學到的數學性質和理論來進行解題。 對於那些難以把握的問題，通過尋找它的對稱性可以輕而易舉的解題，這種方法屢試不爽。首先，讓我們來看一下幾何圖形的對稱。
幾何圖形的對稱
對於這道題，我們只要找出B點關於直線l的對稱點，就能輕而易舉的解決問題。
根據B點到直線l的垂直距離，找出B點關於直線l的對稱點B』點。這樣一來，△PBB』就成了等腰三角形。也就是說，PB=PB』。由此可以得出：
AP+PB=AP+PB』
接下來，我們就看一下，當AP+PB的長度在最短的情況下，P點的位置在什麼地方。由於直線是兩點之間最短的距離，那麼如下圖所示，當P點為直線l和直線AB』的交點p 0 點的時候，AP+PB』的長度最短。
這是一道經典的數學題，通過B點關於直線l的對稱點，可以把視線拓展到直線l的另一邊，當我們得出PB是等腰三角形的一部分的時候，就可以運用「直線是兩點之間最短的距離」這個公理來求出P點的位置。
針對幾何圖形的問題，為了更好的找出對稱性，我給大家介紹一些訣竅。
題目：如下圖所示，將長方形ABCD的一角折起來，使得B點和E點重合，而通過E點可以將AD邊3等分。求FG的長度。
這道題的計算稍微有些複雜。關鍵就在於摺疊之前和摺疊之後圖形的線性對稱（鏡像關係）。根據這一點，我們可以得知△FBG和△FEG是完全相同的兩個三角形（對等）。由此可以得出如下信息：
∠FEG=90°（△FEG為直角三角形）
FB=FE
BG=EG
那我們可以根據這三點信息和勾股定理求出FG的長度。
有興趣的話，大家不妨確認一下。
接下來，是算式當中的對稱。
對稱式
在數學當中，有一種算式，我們將它稱之為對稱式。
【對稱式】
調換未知數之後，依舊和原先保持相等的多項式。
例）在2個未知數的情況下，對稱式有，
我們將 x+y 和 xy 稱之為基本對稱式。 在對稱式當中有一個非常重要的性質，那就是， 無論多麼複雜的對稱式，都可以轉換成一個個基本對稱式的組合。 （關於這個性質的驗證，因為稍稍有一些難度，在這裡就省略了）。
確實，這些對稱式都能夠用一個個基本對稱式的組合來表示。讓我們運用對稱式的這個性質，來做一道高考數學題。
首先，我們要注意到的是：
是一個對稱式。根據對稱式的性質，我們可以將這個對稱式轉換成基本對稱式（a+b或ab）組合的形式。再根據題目當中所給出的2個方程式：
我們就可以求出a+b和ab的值。那麼，我們來看一下能不能求出①+②和①-②的解。
根據①+②，我們可以得出：
由於a 2 +b 2 可以轉換成a 2 +b 2 =（a+b） 2 -2ab，我們將它代入到①+②當中，就可以得出：
這樣一來，我們就把方程式轉換成了a+b和ab組合的形式。但是，轉換到這裡之後，這個方程式就沒法再轉換下去了，我們先把它標註為③，擱在一邊。
接下來，我們來看一下①-②：
根據題目當中給出的a≠b，就可以得出a-b≠0。那麼就把等號兩邊同時除以a-b，從而得出，
順便說一下，在做題的時候，如果遇到題目當中給出了a≠b，那麼很可能就說明，需要你把等號兩邊同時除以a-b，從而對方程式進行變形。
到了這個地方，我們基本上就算完成了一半。然後我們把（a+b）=
代入到方程式③當中去，得出：
好了，至此，ab的值也求出來了！
接下來，就是算出最終的答案。
至此，我們就求出了
的值。在這裡，整個計算的過程並不重要，重要的是，如果我們能夠發現所要求值的算式是一個對稱式的話，就可以運用對稱式的性質來進行運算。順便說一下，在方程式的解和係數的關係當中，也能夠用到對稱式的性質。
【2次方程式的解和係數的關係】
假設ax 2 +bx+c=0的解為α和β，那麼：
（對於以上定義的驗證，我們只要用2次公式來計算一下，立馬就能得出結果。）
在這裡，α+β和αβ都是基本對稱式。
除了對稱式之外，在別的算式當中也能找到對稱，比如相反方程式。
相反方程式
「4次方程式啊，不行！」請大家不要這麼快就拒絕。讓我們來看一下題目當中給出的係數：
1、7、14、7、1
可以看出，這些係數是以14為界線左右對稱的。 方程式當中係數的排列為左右對稱的形式，我們將這樣的方程式稱為「相反方程式」。只要將相反方程式當中同係數的項進行並項，就能夠降低未知數的次方。
我們將方程式當中同係數的項進行並項，得出：
接下來就是解題當中最關鍵的地方了。由於我們能夠很明顯的看出這個方程式的解不是x=0，因此，我們就可以將等號兩邊同時除以x 2 ，得出：
由於：
所以：
把它代入到方程式①當中，就可以得出：
我們假設：
就可以將方程式②變形為如下2次方程式：
t 2 +7t+12=0
這樣一來，我們就能夠很輕易的將它進行因數分解：
（t+3）（t+4）=0
∴t=-3或-4
這樣，我們就求出t的值！然後我們再把t置換回去，當t=-3的時候：
兩邊同時乘以x：
接下來，我們運用2次公式，就可以得出：
同樣的計算方法，當t=-4的時候：
根據上面的這兩個數值，我們就可以得出方程式的解為：
如果我們能夠注意到題目當中方程式的各項係數左右對稱，並將它整理出來，兩兩並項，那我們的視野也能夠隨之展開。也就是說， 如果遇到不知道該怎麼去解題的4次方程式，這時候，我們可以想辦法把它變成2次方程式，然後運用2次公式和因數分解的方法來解題。
當我們發現圖形和算式的對稱性的時候，就能夠擴展視野。獲得更多的信息量，從整體出發，運用學過的理論、性質和信息來解題，甚至由此而展開新的邏輯和理論。
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