解題思路1「降低次方和次元」
所謂次方，就是例子當中x上面的n：
x n
同理，x 3 就是3次方x 4 就是4次方。
降低次方的目的之一，就是讓運算變得更輕鬆。
比如說，我們將（a+b） n 進行展開：
可以看出，隨著次方的升高，整個運算就變得更加複雜。反過來，如果能夠降低次方，那麼複雜的問題一下子就變得簡單了。到底在怎樣的情況下能夠降低次方呢？我們拿「1開3次方」來舉例子。
1開3次方
所謂1開3次方，指的是某數的3次方等於1，也就是：
x 3 =1 ……①
當然了，x=1是1開3次方的解之一。但並非唯一的解。在接著往下說之前，我們先來複習一下因數分解的公式。
【因數分解的公式】
a 3 -b 3 =（a-b）（a 2 +ab+b 2 ）
讓我們來確認一下這個公式，等號右邊是不是真的等於左邊。
我們對算式①進行移項，將等號右邊的1移到左邊來，得出：
x 3 -1=0
然後我們按照上面因數分解的公式進行變形，得出：
也就是：
（關於AB=0這個話題，我們等到後面「解題思路5」這個章節再來詳細討論。）
x-1=0的解，就是x=1。而x 2 +x+1=0，很遺憾，這裡不能再因數分解了，於是我們只好用2次公式來求解。
【2次公式】
當ax 2 +bx+c=0的時候：
由於x 2 +x+1=0，那麼：
雖然
面是個負數，但是請大家不必驚訝。我們還準備了虛數單位i來應對這種情況。所謂虛數單位i，就是當某數的2次方為負數（我們將它稱為虛數）的時候，所給出的定義。
【虛數單位i】
i 2 =-1
在這裡，我們代入虛數i，使得
=
=
，那麼先前的2次方程式的解為：
感謝大家的配合，能夠一直耐心的讀到這個地方。現在我們搞明白了一點，1開3次方之後，得出的解除了等於1之外，還有一個非常複雜的數字。那麼，對於這個複雜的數字
，我們是不是還要再求出它的2次方，甚至是5次方？
我可不想面對那麼麻煩的運算。於是，我們就想辦法降低次方。
那我們假設：
（ω是希臘字母，讀作「歐米茄」，而不是英文中的w），假設ω是上述2次方程式x 2 +x+1=0的解，那麼，我們將ω代入方程式，就可以得出：
ω 2 +ω+1=0
然後再將它進行如下變形：
ω 2 =-ω-1
另外，由於ω就是一開始的x 3 =1的解，那麼，我們將ω代入到x 3 =1當中，就可以得出：
ω 3 =1
我們再把這兩個方程式放在一起，得出，
接下來就是關鍵部分了！
在☆號聯立方程式中，上面一個方程式，等號左邊為2次方，右邊為1次方；下面一個方程式，等號左邊為3次方，右邊為0次方（常數項）。
也就是說，我們降低了☆號聯立方程式的次方！比方說，我們來算一下ω的4次方。就能夠用到☆號聯立方程式：
這樣一來，運算變得相當簡單。那麼，ω的11次方又是多少呢？也可以運用☆號聯立方程式，將它變成1次方程式：
按照這個模式，我們再來算一下ω的30次方又是多少呢？同樣是運用☆號聯立方程式，降低它的次方：
像這樣，運用☆號聯立方程式來對ω進行運算，那麼不管遇到怎麼樣的情況，我們都可以降低它的次方，使它變成1次方程式或者常數項。
最難得的是，我們可以把之前的複雜數字代入到ω當中，進行進一步的運算。根據前面所算出的結果，我們可以得出：
我們可以看得出，等號左邊非常複雜，但是等號右邊的計算，就變得十分輕鬆。這就是降低次方的樂趣所在。
除了在1開3次方（ω）當中我們運用到了降低次方的思路以外。「陪集定理」「三角函數的半角公式」，還有「哈密爾頓定理」，也都運用到了這種思路。
在幾何圖形當中，同樣可以降低「次元」
前面我們說到了次方，現在我們要說另外一個「次」，那就是「次元」。在幾何圖形，特別是立體圖形當中要降低次元，這一點非常重要。，讓我們來看一下如下圖形：
這是一個長方體。我們把這種圖稱之為草圖。
實際上，當我們看到這個圖形，就能夠辨認出它是一個「長方體」，這完全是教育的功勞。換一種說法，我們實際上已經被教育「洗腦」了。如果你把這個圖形給那些沒受過算術、數學教育的人來看，他們就不會認為這是一個長方體。為什麼呢？因為長方體的每一個角都應該是直角，而這張圖上面，沒有哪一個角是直角。當我們把3次元（空間）的物體落在2次元（平面）上的時候，圖形自然就會發生扭曲。
所以，當我們遇到立體幾何問題的時候，如果按照這樣的草圖來思考，就容易產生錯覺。本來應該是相同長度的兩條邊，就會顯得不一樣長；本來應該是直角，看上去就不是直角。那麼，應該怎麼辦呢？
讓我們來考慮一下能不能降低它的次元。 把3次元變成2次元，也就是說，找出空間圖形當中關鍵部分，然後把它畫在平面圖上。這樣的平面圖看上去沒有不實的地方，我們可以根據它來思考問題。也就是說，降低圖形的次元，會讓問題變得容易許多。
我們來看一個例題。
解這道題，最重要的就是從圖形當中把四邊形MHFN給提取出來，畫成平面圖。這時候，你是否能夠看出MH和NF的長度是相等的？
如果僅僅是看這張草圖的話，也許有人會產生錯覺，誤以為MH和NF的長度是不等的。但是，如果畫出正方形DHGC和正方形BFGC的平面圖，我們就能看出M和N分別為CD和BC兩條邊上的中點。如此一來，MH=NF就一目了然了。
由此我們可以畫出MHFN的平面圖，因為MH=NF，也就是說，MHFN是一個等邊梯形。
這樣一來，我們就可以運用勾股定理計算它的面積。首先我們可以算出MN的長度。如果畫出△MNC的平面圖，再運用勾股定理的話，就很容易算出來：
接下來，可以按照畫△MNC的方式畫出△HFG，它的邊長是△MNC的2倍。
然後我們再畫出MHFN的平面圖：
在這裡，HI和JF是同樣的長度，所以：
由於梯形的面積為：
（上底+下底）×高÷2
因此，我們只要知道高度（MI和NJ的長度），就能夠得出MHFN的面積。
在這裡，△MIH是直角三角形，那我們就可以運用勾股定理來計算。但是，要想計算MI的長度，就必須先計算MH的長度。那麼，我們就要從正方體的草圖當中提取出△DHM。提取出來之後，就能看出這也是一個直角三角形。
至此，我們就可以計算MI的長度了。
Mh 2 =HI 2 +MI 2
我們將MH=
，HI=
代入到算式當中，得出梯形的高度為：
最後，梯形MHFN的面積：
在整個運算的過程當中，我們要注意的重點就是 從草圖當中提取出幾個平面圖。 通過降低次元，我們把3次元的草圖變成2次元的平面圖，這樣運算就會變得輕鬆。
今後，當你感覺計算困難的時候或者是把握不了立體圖形的時候，不妨想一想：能不能降低次方或次元？
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