從2019年北京中考數學新定義「中內弧」看數學概念理解題
新定義，就是將某個特徵的圖形或運算方式、代數式等數學元素賦予一個新的名字，形成新的概念。我們可以對比人教版初中數學教材裡的概念，每個字都要經過推敲，方可成為概念，數學語言表達要簡潔明了。多數教材上的概念，都會單獨成為一個小節，再圍繞這個概念進行知識體系的鋪陳。北京市中考數學的新定義，由來已久，屬於地方中考特色，北京考生大多習以為常，然而，新定義題背後呈現出來的對數學閱讀的理解深度，卻著實讓人對北京學生的數學核心素養感到佩服。
題目
在△ABC中，D、E分別是△ABC兩邊的中點，如果弧DE上所有點都在△ABC內部或邊上，則稱弧DE為△ABC的中內弧，例如下圖1中弧DE是△ABC的一條中內弧。
(1)如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2√2，D、E分別是AB、AC的中點，畫出△ABC的最長的中內弧DE，並直接寫出此時弧DE的長；
(2)在平面直角坐標系中，已知點A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t>0)，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點.
①若t=1/2，求△ABC的中內弧DE所在圓的圓心P的縱坐標的取值範圍；
②若在△ABC中存在一條中內弧DE，使得弧DE所在圓的圓心P在△ABC的內部或邊上，直接寫出t的取值範圍.
解析：
(1)首先對新定義中內弧進行解讀，抓住兩個字要領，中是指中點，即弧的兩個端點分別是三角形兩邊中點，內是指弧所在位置，位於三角形內部或邊上。其次是聯想與弧有關的概念，以備思考使用，弧有優弧劣弧之分，界於二者之間的是半圓，圓內最長的弦是直徑等，然後以這些為功底，來拿第1小題練手。
條件中已經給出了這是一個等腰直角三角形，弧DE所在圓的圓心一定在這條弧的垂直平分線上，剩下的問題就是，什麼時候這條弧最長？
從圖中看，這是一條定弦所對的弧，當圓心在DE垂直平分線不同位置時，弦心距在不斷變化，連帶著半徑和圓心角也在不斷變化，如果對照弧長公式，有兩個變量n和R，對於初中學生來講，無法判斷，那是否就毫無辦法呢？這個時候幾何直觀就管用了，題目要求是直接寫結論對吧？估計也是考慮到用初中階段知識不好寫過程的原因，比較厚道。
不妨將弧DE以及弦DE都看作是兩點D、E之間的連線，我們都知道兩點之間線段最短，這次我們反著來理解，圓心離DE越近，弧DE看上去就離DE越「遠」，自然也就越長了，極端情況，圓心恰好就是DE中點，此時弧DE是半圓最長；或者換個理解角度，抓住DE是圓內的一條弦，而直徑是圓內最長的弦，無論哪種理解方式，只要確定了圓心在DE中點，剩下的事就好辦，求出弧長為π；
(2)建立平面直角坐標系，標註出各點坐標，如下圖1：
同樣我們可以得到，在①條件下，△ABC為等腰直角三角形，則圓心在直線x=1/2上，由於弧的位置不同，要保證它在三角形內部，必須考慮它與三角形邊相切的情況，弧DE可能在弦DE上方，也可能在下方。
當弧DE在弦DE上方時，上圖1紅色弧DFE與AC相切時，圓心P與點E的連線垂直於直線AC，且可求得∠PEG=45°，弦心距PG=GE=1/2DE=1/2，點G坐標為(1/2,1)，所以P(1/2,1/2)，若點P向上平移，則弧將與線段AC相交，不符合中內弧的定義，故在這種情況下，點P縱坐標小於等於1/2；
當弧DE在弦DE下方時，如下圖2：
當弧DFE與AB相切時，圓心P'與點D的連線垂直於直線AB，即點P'在線段DE的中點，P'F=P'D=1/2，此時P'(1/2,1)，若點P'向下平移，則弧將與線段AB相交，不符合中內弧的定義，故在這種情況下，點P縱坐標大於等於1；
綜上所述，點P縱坐標≤1/2或≥1；
而在②條件中，對於「存在性」的理解，即在所有中內弧中，有至少一個弧DE所在圓的圓心P在△ABC內部即可，同樣也分兩種情況：
當弧DE在弦DE上方，如圖3：
在此種情況下，由①可知，所有中內弧所在圓的圓心P中，當弧DE與AC相切時，此圓心的縱坐標最大，相應的弦心距PG最短，若要使該圓心在△ABC邊上或內部，由PG≤點G到BC的距離，即PG≤1；
∵弧DE與AC相切
∴PE⊥AC，可證△PGE∽△CBA
∴PG:CB=GE:AB，得到PG=2t
∴2t≤1，0<t≤√2/2
當弧DE在弦DE下方，如圖4：
在此種情況下，由①可知，若圓心從DE上方向DE靠近過程中，弧DE先與AB相切，則線段DE中點以上的點都滿足條件，此時三角形內部一定存在符合條件的圓心，此時，t<1；
當t=1時，圓心向DE靠近過程中，弧DE與AB、BC同時相切，此時三角形內部也一定存在符合條件的圓心；
當t>1時，圓心向DE靠近過程中，弧DE先與BC相切，相切時弧DE所在圓的圓心為最低點，若要使三角形邊上或內部存在滿足條件的圓心，則相切時的弧所在圓的圓心P'到切點F的距離應≤FH，不難證明△CFH∽△CBA，得到CF:FH=CB:BA，即FH=3/2；
設半徑為r，則P'G=r-1，由勾股定理得
P'G+DG=P'D，即(r-1)+t=r，從而r=(t+1)/2，所以(t+1)/2≤3/2，得到0<t≤√2；
綜上所述，由存在性可知，以上兩種情況可不必同時滿足，所以0<t≤√2.
解題反思
這道題主要考查了幾何直觀以及圓的相關知識，在解題期間，還用到了相似、勾股定理作為輔助工具幫助建立線段之間的等量關係，而本題的難點有以下幾點：1.充分理解「中內弧」的定義，找到影響其變化的因子；2.通過作圖、幾何直觀，弄清楚這條弧的變化趨勢；3.找到臨界情況，並理清結果最終的範圍與臨界值的關係。
在第2小題②中，對t進行了分類，是因為當C點不確定後，中內弧對圓心的約束也就不同，先與誰相切，影響了圓心最低點的位置，因此，要想深入理解這道題，還需要花功夫，不是簡單看看解析就完事，這個功夫是指平時學習圓的相關概念時，不要輕浮，要沉下心，所謂冰凍三尺，非一日之寒。