中考數學壓軸題進階訓練9三角形中的特殊點

2020-12-12 中考數學一零一

三角形內，存在著一個特殊的點，這個點到到三角形三個頂點距離之和是最小的，這樣的點我們稱之為費馬點，這個最小的距離叫做費馬距離。若三角形的內角均小於120°，那麼三角形的費馬點與各頂點的連線三等分費馬點所在的周角；若三角形內有一個內角大於等於120°，則此鈍角的頂點就是到三個頂點距離之和最小的點。今天我們就來詳細的研究費馬點有關的數學問題。

1.若三角形有一個內角大於等於120°，則此鈍角的頂點即為該三角形的費馬點

已知：如圖在△ABC中，∠BAC≥120°，求證：點A為△ABC的費馬點

2.若三角形的內角均小於120°，則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在三角形內的交點即為該三角形的費馬點．

已知：如圖，在△ABC中三個內角均小於120°，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△ABC內的交點為O，求證：點O為△ABC的費馬點

此時ABAC為邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形的外接圓在△ABC內的交點即為點O。如圖，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小於120°，O為費馬點，則有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的費馬點也叫三角形的等角中心

【典型例題1】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（－6，0），點B的坐標為（6，0），已知點C坐標，延長AC至點D使得CD＝AC，過點DE作DE//AB，交BC的延長線於點E，設G為y軸上的一點，點P從直線y'與y軸的交點M出發，先沿y軸到達點G，再沿GA到達點A，若點P在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定點G的位置，使點P按照上述要求到達A所用的時間最短？

【典型例題2】A、B、C、D四個城市恰好為一個正方形的四個頂點，要建立一個公路系統使得每兩個城市之間都有公路相通，並是整個公路系統的總長度為最小，則應當如何修建？

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