正項級數的比較審斂法真的那麼容易?

2021-01-17 別跡無涯

正項級數是常數項級數的一種。所謂的正項級數就是數列的一般項大於或等於0的級數。兩個常見的p級數和幾何級數就是正項級數。

根據常數項無窮級數收斂的定義可知,正項級數收斂的充要條件是:部分和數列有界。

從充分性角度看,正項級數的部分和數列是關於n的遞增數列,並且部分和數列有上界,根據單調遞增有上界的數列必有極限的定理可知,正項級數收斂。

從必要性的角度看,正項級數的部分和數列必然大於或等於0,且小於或等於收斂值,因此當正項級數收斂是,其部分和數列有界。

本文小編將介紹正項級數的比較審斂法。

1.比較審斂法

比較審斂法的具體內容如下:

比較審斂法很好理解。但是在實際中,常常需要用到比較審斂法的推廣形式。從級數收斂的性質可知,改變數列的有限項不影響級數的斂散性,並且,對收斂級數的數列一般項乘以一個常數也不改變級數斂散性。結合這兩條性質,可以得到比較審斂法的推廣形式,具體內容如下:

大家注意上面標綠色的部分,思考下比較審斂法的推廣形式是不是應用了小編說的那兩條性質呢?

下面看個簡單的例子,來嘗試運用比較審斂法吧!

要證明級數發散,從比較審斂法的角度看,就是要找到一個發散級數的數列一般項小於上面級數的數列一般項,而對於題目中的數列一般項,相信大多數人都很容易能想到如下的不等式:

顯然不等式右邊是調和級數的數列一般項,因為調和級數是發散的,所以題目中的級數亦發散。

2.比較審斂法的極限形式

在比較審斂法的基礎上,延伸出比較審斂法的極限形式,其具體內容是:

比較審斂法的極限形式雖然是從比較審斂法的基礎上,延伸出來的,但是卻不太好理解,小編將會詳細解釋比較審斂法的極限形式。出於描述方便的考慮,小編接下來會用分母級數、分子級數分別表示分母所屬的級數、分子所屬的級數。

結論1和結論2本質上是一致的,不妨看結論1。

假設結論1中的極限存在,那麼必可得到如下兩個子結論:

根據上述兩個子結論,很容易得到下面的關係式:

那麼根據比較收斂法的推廣形式,可以知道,分母級數收斂,則分子級數收斂;分子級數發散,則分母級數發散。圖1為比較審斂法極限形式的解釋邏輯圖。

圖1.比較審斂法極限形式的解釋邏輯圖

而結論2本質上就是結論1,大家只要把極限的分子分母倒轉過看,就能明白。為了減輕記憶負擔,小編建議可以採用如下方法記憶比較審斂法的極限形式:

根據比較審斂法的極限形式,大家嘗試判定下面這個級數的斂散性吧。

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