原題
原題：已知函數f(x)=xe^x－a(x+lnx)。
⑴若a=0，求函數f(x)在x=1處的切線方程；
⑵討論f(x)極值點的個數；
⑶若x0是函數f(x)的一個極值點，且f(x0)>0，證明：f(x0)>2[x0－(x0)^3].
這道題是作為一個壓軸題出現的，其實壓軸題並沒有我們想像的那樣難。
仔細觀察我們會發現，這道題的前兩問還是比較簡單的，主要是第三問的問題，其實第三問如果知道這兩個常見的不等式，也是比較簡單的。
在第三問中給出x0是函數f(x)的一個極值點，則函數f(x)的一次導數在該x0點處是等於0，經過導數的求得，我們會發現要想證明f(x0)>2[x0－(x0)^3]成立，實際就是要證明x0e^(x0)(1－x0－lnx0)>2[x0－(x0)^3]成立即可。
看到「x0e^(x0)(1－x0－lnx0)>2[x0－(x0)^3]」不等式，熟悉常見不等式的同學會立馬發現這裡的e^x0>x0+1，lnx0<x0－1，將這裡不等式代入立馬就做出題來了。
但是不知道這兩個不等式的同學，一看這個「x0e^(x0)(1－x0－lnx0)>2[x0－(x0)^3]」不等式就找不到頭了，更不知道該從何證起。
下面我們就來講解該題的具體的解題過程。
第一問
第一問給出a=0，求該函數f(x)在x=1處的切線方程。
這道題只需要將a代入，對函數求導，求出該導數在x=1處的斜率，再根據該函數在x=1處的點求出函數在x=1處的切線方程。
因為a=0，所以函數f(x)=xe^x。
對函數f(x)求導，得到一次導數f＇(x)=(1+x)e^x，則函數f(x)在x=1處的斜率為k=f＇(1)=2e。
將x=1代入到函數f(x)=xe^x中，則有f(1)=e，所以該函數在x=1處的切線過點（1，e）。
根據點斜式，則該切線方程為y－e=2e(x－1)，整理得到2ex－y－e=0.
第二問
第二問是討論函數f(x)極值點的個數。
要想求出該函數f(x)的極值點個數，實際就是求函數f(x)導數等於0時解的個數。
因為函數f(x)=xe^x－a(x+lnx)，所以該函數的一次導數為f＇(x)=(1+x)e^x－a(1+1/x)=(1+x)e^x－a(x+1)/x=(x+1)(e^x－a/x)
令 一次導數為f＇(x)=0，則(x+1)(e^x－a/x)=0，因為x>0，所以只能是e^x－a/x=0.
所以上述要求函數f(x)極值點的個數，就轉化成了求方程e^x－a/x=0解的個數。
求方程e^x－a/x=0解的個數可以根據圖像來解決，即函數y=e^x和函數y=a/x有交點的個數。
當a=0時，e^x=0，因為e^x>0恆成立，所以此時方程e^x－a/x=0無解，即此時函數f(x)沒有極值點。
當a>0時，函數y=e^x和函數y=a/x的圖形如圖二所示：
因為x>0，且函數y=e^x是底數大於1的指數函數，在x>0上是單點遞增的，函數y=a/x是單點遞減的，所以函數y=e^x和函數y=a/x只有一個交點。
所以此時函數f(x)存在一個極值點。
當a<0時，函數y=e^x和函數y=a/x的圖形如圖三所示：
因為x>0，而函數y=a/x在x>0部分的函數值均校友0，函數y=e^x在x>0部分均大於0，所以該函數在x>0上是沒有交點的，所以函數y=e^x和函數y=a/x沒有交點。
所以此時函數f(x)沒有極值點。
第三問
第三問就是要證明不等式f(x0)>2[x0－(x0)^3]成立。
要想這證明該不等式成立，需要知道兩個常用的不等式：e^x>x+1和lnx<x－1.
證明的詳細過程可見高中數學證不等式恆成立需知這些「媒介」不等式，不容小覷的內容
因為x0是函數f(x)的一個極值點，所以一次導數f＇(x0)=0。
因為一次導數f＇(x)=(x+1)(e^x－a/x)，且x>0，所以e^x0－a/x0=0，即x0·e^(x0)=a——這個關係比較重要。
第一步，得出f(x0)>0的用意。
因為f(x0)>0，所以f(x0)=x0·e^(x0)－a(x0+lnx0)=x0·e^(x0)－x0·e^(x0)·(x0+lnx0)=x0·e^(x0)(1－x0－lnx0)>0.
因為x0·e^(x0)>0恆成立，所以只需(1－x0－lnx0)>0即可。
設g(x)=1－x－lnx，則一次導數g＇(x)=－1－1/x，因為x>0，所以一次導數g＇(x)<0恆成立，即g(x)是單調遞減函數，又因為g(1)=0，所以要想(1－x0－lnx0)>0，需要滿足0<x0<1。
所以這裡給出f(x0)>0，實際是給出了x0的一個範圍，這裡給出x0的範圍就是為了滿足不等式e^x>x+1和lnx<x－1成立，其實該不等式在x>0上就是成立的。
第二步，借用不等式e^x>x+1和lnx<x－1.
因為f(x)=xe^x－a(x+lnx)，且x0·e^(x0)=a，所以f(x0)=x0·e^(x0)(1－x0－lnx0)。
因為e^x>x+1和lnx<x－1，所以e^x0>x0+1，－lnx0>－x0+1，所以f(x0)=x0·e^(x0)(1－x0－lnx0)>x0(x0+1)(1－x0－x0+1)=x0(x0+1)(2－2x0)=2x0[1－(x0)^2]=2[x0－(x0)^3]。
所以就證明出f(x0)>2[x0－(x0)^3]。
總結
上述就是函數、不等式以及極值點相結合的題型，雖然看起來繁瑣，但是實際思路還是比較簡單的。
上述的題中的很多步驟也都固定的模式，學會它可以用在將來的解題之中，就像給出x0是函數f(x)的極值點，就要知道f(x0)=0，即x0·e^(x0)=a或者e^x0=a/x0這樣的關係，在解題中都是有很大用處的。
基本不等式的公式以及拓展公式
解決含有絕對值不等式的幾種常用的方法
詳細講解柯西不等式的運用
高中所學的導數公式大全