北師大版七年級數學下冊視頻精講
北師大版七年級數學下冊期末試題彙編
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第1章 整式的乘除
1.1同底數冪的乘法
1.2冪的乘方與積的乘方
1.3同底數冪的除法
1.4 整式的乘法
1.5 平方差公式
2.4《用尺規作角》
3.4 用尺規作三角形
4.1用表格表示的變量間關係
4.2用關係式表示的變量間關係
《整式的乘除》知識點精講
完全平方公式：
(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab
兩數和（或差）的平方，等於它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。叫做完全平方公式．為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式。
派生公式：
(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2
(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab
1．已知2n+2﹣n=k（n為正整數），則4n+4﹣n=．（用含k的代數式表示）
2．已知實數x，y滿足方程（x2+2x+3）（3y2+2y+1）=，則x+y=．
3．已知(x+y)2=18，(x﹣y)2=6，求x2+y2及xy的值．
4．已知ab=9，a﹣b=﹣3，求a2+3ab+b2的值．
考點解析
完全平方公式是進行代數運算與變形的重要知識基礎。該知識點重點是對完全平方公式的熟記及應用，難點是對公式特徵的理解 (如對公式中積的一次項係數的理解)。
兩數和(或差)的平方，等於它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，叫做完全平方公式。為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式。
理解公式左右邊特徵
(一)學會推導公式(這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的)，真實體會隨意「創造」的不正確性;
(二)學會用文字概述公式的含義：兩數和(或差)的平方，等於它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.
都叫做完全平方公式.為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式.
(三)這兩個公式的結構特徵是：
1、左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍;
2、左邊兩項符號相同時，右邊各項全用「+」號連接;左邊兩項符號相反時，右邊平方項用「+」號連接後再「-」兩項乘積的2倍(註：這裡說項時未包括其符號在內);
3、公式中的字母可以表示具體的數(正數或負數)，也可以表示單項式或多項式等數學式.
(四)兩個公式的統一：因為
所以兩個公式實際上可以看成一個公式：兩數和的完全平方公式。這樣可以既可以防止公式的混淆又杜絕了運算符號的出錯。
練習&解析
完全平方公式的基本變形：
(一)變符號
例：運用完全平方公式計算：
(1)(-4x+3y)²
(2)(-a-b)²
分析：本例改變了公式中a、b的符號，以第二小題為例，處理該問題最簡單的方法是將這個式子解答：
(1)16x²-24xy+9y²
(2)a²+2ab+b²
(二)變項數：
例：計算：(3a+2b+c)²
分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現了三項，故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以在運用公式時，(3a+2b+c)²可先變形為[(3a+2b)+c]²，直接套用公式計算。
解答：9a²+12ab+6ac+4b²+4bc+c²
(三)變結構：
例：運用公式計算：
(1)(x+y)(2x+2y)
(2)(a+b)(-a-b)
(3)(a-b)(b-a)
分析:本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結構不符合公式特徵，但仔細觀察易發現，只要將其中一個因式作適當變形就可以了，即
(1)(x+y)(2x+2y)=2(x+y)²
(2) (a+b)(-a-b)=-(a+b)²
(3) (a-b)(b-a)=-(a-b)
一、我們先來研究一下完全平方公式的幾個關鍵變式：
(a+b)²=a²+2ab+b².
(a-b)²=a²-2ab +b².
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²).
(a+b)²- (a-b)²=4ab.
這四個公式中包含了：a+b，a-b，a²+b²，ab. 只要知道其中的任意兩個式子，就可以求出另外兩個式子.
二、完全平方公式還有個非負性：
(a+b)²≥0，
(a-b)² ≥0.
如果(x+b)²+(y-c)² =0，那麼x=-b，y=c.
三、用配方法配出完全平方公式
如：a²+6a+10
=a²+2×3a+3²-3²+10
=( a²+2×3a+3²)-3²+10
= (a+3)² +1.
四、例題
例1 已知(a+b)²=7，(a-b)²=3，求a²+ab +b²的值.
【分析】結論中的a²+ab +b²，與完全平方公式還有一點區別，如果直接用公式，無法實現. 觀察這個式子的特點發現，式子裡蘊含了a²+b²，ab兩個式子，我們分開求這兩個式子，題目就變得簡單了.
解：∵(a+b)²=7，(a-b)²=3，
(a+b)²+ (a-b)²=2(a²+b²)，
∴7+3=2(a²+b²)，
∴a²+b²=5.
∵(a+b)²- (a-b)²=4ab，
∴7-3=4ab，
∴ab=1.
∴a²+b²+ab=6.
例2 已知：m+n=3，mn=2，求m²+n²，(m-n)²的值.
【分析】m²+n²與m+n，mn之間的關係，可以用公式(m+n)²=m²+n²+2mn建立；(m-n)²可以用公式：(m-n)²= m²+n²-2mn求得，也可以用公式：(m+n)²- (m-n)²=4mn求得.
解：∵m+n=3，mn=2，
(m+n)²=m²+n²+2mn，
∴3²=m²+n²+2×2,
∴m²+n²=5.
∴(m-n)²= m²+n²-2mn
=5-2×2=1.
【分析】此時要通過條件，求出a+b和a-b，觀察條件的特點，我們發現，可以使用公式(a+b)²=a²+2ab+b²和(a-b)²=a²-2ab +b²分別求出a+b和a-b.
解：∵a<b<0，< span=>
∴ab>0.
∴(a+b)²= a²+b²+2ab=6ab+2ab=8ab，
(a-b)²=a² +b²-2ab=6ab-2ab=4ab.
例4 已知x²+y²-4x+8y+20=0，求x+y的值.
【分析】看到此題，第一反應往往是想通過對那一長串式子進行變形，變化出x+y. 但是，通過多次嘗試，一般是不能實現的. 這個時候，我們還可以考慮分別求出x和y，然後再求x+y. 像這種一個式子裡同時含有兩個字母，而且每個字母都有平方的情況，我們考慮用完全平方公式對它進行變化. 常用的方法就是「配方法」，把完全平方公式配出來.
解：x²+y²-4x+8y+20
=x²-4x+2²-2²+y²+8y+4²-4²+20
= x²-4x+2²+y²+8y+4²
=(x-2)²+(y+4)²
∴條件可以變化為：
(x-2)²+(y+4)².
∴(x-2)²+(y+4)²=0.
∵(x-2)²≥ 0， (y+4)²≥0，而它們相加為0，
∴只能有(x-2)² =0， (y+4)²=0.
∴x=2，y=-4，
∴x+y=-2.
例5 求證：無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
【分析】觀察這個式子，x²-4x+5裡存在著完全平方公式，或者說，我們可以用「配方法」給這個式子配出完全平方公式.
證明：x²-4x+5
= x²-4x+2²-2²+5
= (x²-4x+2²)-2²+5
=(x-2)²+1.
∵(x-2)²≥0，
∴(x-2)²+1>0.
∴無論x為何實數，代數式x²-4x+5的值恆大於零.
例6 計算：503².
【分析】此題如果直接計算，計算量比較大，我們可以考慮使用完全平方公式.
解：503²=(500+3)²
=500²+2×500×3+3²
=250000+3000+9
=253009.
學與用
完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a－b)2=a2－2ab+b2是一組重要的乘法公式，它的應用非常廣泛．本文從四個方面剖析完全平方公式，幫助同學們理解、掌握這個公式．
1.認清完全平方公式的結構特徵
字母表示：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a－b)2=a2－2ab+b2.
語言表示：兩個數和（或差）的平方，等於它們的平方和，加（或減）它們的積的2倍.
結構特徵：完全平方公式的左邊是兩個數的和或差的平方，公式的右邊是二次三項式，首末兩項是平方項，中間項是這兩個數的乘積，且符號由左邊的「和」或「差」來確定．
記憶口訣：
「首平方（a2），尾平方（b2），2倍之積在中央（2ab）」．
2.理解完全平方公式的幾何意義
如圖1，大正方形面積為(a﹢b)2，它可以看作是由兩個小長方形和兩個小正方形組成的，其面積可以表示為a2﹢ab+ ab+b2 =a2﹢2ab+b2，所以(a+b)2=a2+2ab+b2.
如圖2，陰影部分的面積是(a－b)2，它可以看作是由大正方形的面積減去兩個小長方形的面積和一個小正方形的面積得到的，即a2－2(a－b)b－b2=a2－2ab+b2，所以(a－b)2=a2－2ab+b2 .
3.明確公式中a、b的含義
4.學會運用完全平方公式進行計算
（1）直接運用公式
例1.計算：（－2x＋5y）2.
分析：把－2x看作公式中的a，把5y看作b，運用完全平方公式計算；也可以把兩個加數交換位置，即變形為（5y－2x）2，把5y看作a，把2x看作b，運用完全平方公式計算.
解法一：（－2x＋5y）2
＝（－2x）2＋2（－2x）(5y)＋(5y)2
＝4 x2-20xy＋25 y2.
解法二：（－2x＋5y）2=（5y－2x）2
=(5y)2－2 (5y) （2x）＋（2x）2
＝25 y2-20xy＋4 x2.
（2）先變係數再運用公式
例2.計算：（b﹢c）（－b－c）.
分析：把第二個因式提出「－」號之後，再運用兩數和的完全平方公式計算.
（3）變形後運用公式
利用平方差公式分解因式
利用完全平方公式進行分解因式
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