原文發表於《中學數學教學參考》2021.1
開號宗旨:為數學教師提供交流、學習、研究的平臺，既關注高中數學解題研究，也關注教法和學法研究。文衛星，上海市特級教師。踐行「生態課堂」，做到「兩尊重」----即尊重知識的發生、發展規律，尊重學生的認知規律；把握「兩個度」----思想（哲學或數學）高度和文化厚度。
在《數學教育學報》《數學通報》《中學數學教學參考》等近50家報刊雜誌發表論文或文章約330多篇。
專著（代表作）：《超越邏輯的數學教學----數學教學中的德育》（2009）、《文衛星數學課賞析》（2012）、《挑戰高考壓軸題高中數學精講解讀篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好題賞析》（2019）。
近年為北京、上海、天津、江蘇、浙江、福建、廣東、貴州、河南、河北、四川、雲南、新疆、寧夏、安徽、山西、重慶等地師生講學。
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夏繁軍，男，首都師範大學附屬中學數學教師，高級教師，北京市學科帶頭人。曾獲北京市骨幹教師，山東省教學能手，山東省優質課一等獎。大學本科畢業後一直從事高中數學教學工作，曾送過17屆高三畢業班。
研究方向:教學設計、理解教學、深度學習、高三複習.現已在國家級期刊發表論文60多篇，6篇論文被中國人民大學報刊資料複印中心《高中數學教與學》全文轉載，主編《課程標準校本化實施（中學數學卷）》（高等教育出版社）.
摘要：「整章—單元—課時」的教學設計，是一個完整的系統。遵循「總—分—綜」 的路徑。「總—分」是指整章—單元—課時，主要是內容和目標的分解，「分—綜」是通過課時教學目標的實現，逐級融合併達到單元和整章目標。整章分析主要包括知識邏輯分析和思維方法分析；單元解讀包括內容、目標分析，問題診斷、教學支持條件分析、課時設計，體現為什麼教，教什麼，怎樣教，教的如何。課時設計關鍵是在分析內容和目標、分析學生認知基礎上，創設合適的教學情境，提出合適的數學問題（串），教會學生有邏輯地思考和交流，形成和發展數學核心素養。
關鍵詞：整章分析、單元解讀，課時教學設計，空間平行關係
《普通高中數學課程標準（2017年版）》在課程結構設計依據中提出：依據數學學科特點，關注數學邏輯體系、內容主線、知識間的關聯，重視數學實踐和數學文化。在教學建議中提出：教師要整體把握教學內容，促進數學核心素養的連續性和階段性發展。教師要關注主題教學和單元教學，要關注數學核心素養發展的各階段目標、單元教學目標和課時教學目標的統一，關注教學目標對實現核心素養發展的貢獻[1]。教師進行教學設計一般是遵循「數學核心素養—主題目標—整章目標—單元目標—課時目標」的路徑，是「總—分」的過程，而學生學習則是按照「問題解決—課時目標—單元目標—整章目標—主題目標—數學核心素養」的路徑，是「分—綜」的過程，最終目標是學生綜合素養的提升。要實現這兩個過程的完美統一，關鍵是做好「整章—單元—課時」的教學設計，這是一個完整的系統。如何基於整章分析進行單元解讀，再到課時教學設計？筆者參考人民教育出版社章建躍老師給出的單元—課時設計模板[2]，以人教B版普通高中教科書《數學（必修）》第四冊第十一章「立體幾何初步」為例，對整章進行分析，然後對第3單元「空間中的平行關係」進行解讀，在此基礎上對本單元3個課時「平行直線與異面直線」「直線與平面的平行」「平面與平面的平行」進行教學設計，並以第3課時為例，期望捋清「整章—單元—課時」的設計路徑。
1.1 知識邏輯分析
數學是一門邏輯性很強的學科，知識體系呈現十分嚴謹的系統性。數學教科書是學生學習數學知識體系的最基本載體，它是按照一定的邏輯順序和學生的心理發展規律將學生所要學習的數學知識分布在不同的章節和不同年級的。教師在進行具體內容的教學時，深刻理解所要教授知識在中學數學知識體系的地位和教育價值是非常重要的，這也是教師研究教學最重要的工作。
高中階段立體幾何的研究對象是空間幾何體，知識邏輯的主線是研究構成空間幾何體的點、直線、平面的確定和相互的位置關係，以及在此基礎上研究空間幾何體的性質及不同空間幾何元素的位置關係，如圖1所示。在教學中，要能夠通過線
線、線面、面面之間的位置關係以及空間幾何體的研究，讓學生把握知識邏輯的主線，在義務教育階段的平面幾何學習的基礎上，進一步地體會幾何學的研究內容與研究方法。
在教科書的第一單元首先是研究空間幾何體，其課程目標就是使學生認識、了解、掌握一個空間幾何體的結構特徵，通過對空間幾何體的整體把握去培養和發展學生空間想像能力。在教學中要能通過從空間幾何體的結構特徵、畫圖方法和度量計算三個角度展開，以幫助學生認識空間幾何體。這一部分的教學，加強幾何直觀的教學，適當進行思辨論證，引入合情推理。對於空間想像能力的培養在以往的立體幾何教學中，僅僅是依賴邏輯推理，培養途徑比較單一；新課標下的教材，對於空間想像能力的培養給出了的途徑是：幾何直觀、合情推理、邏輯推理。培養途徑多元，符合學生的認知規律。在教學中，不要誤認為這部分的要求是降低了,講課時一帶而過。實際上，要在這一部分的教學中，加強幾何直觀的訓練。在引導學生直觀感受空間幾何體結構特徵的同時，學會類比、學會推理。
對於空間幾何體的表面積和體積公式的教學不是僅僅為了應用公式去解決有關的計算問題，更重要的是通過公式的推導思路的尋求(如側面展開圖)和各種幾何體計算公式的聯繫的分析，幫助學生從計算的角度去認識空間幾何體，更加準確地把握空間幾何體的結構特徵。
對空間幾何體的研究經常都是藉助或轉化為平面的問題來解決的。「確定平面」是將空間圖形問題轉化為平面圖形問題來解決的重要條件，而這種轉化又是空間圖形中解決相當一部分問題的一種重要的思想方法。這種轉化的最基本的依據就是三個公理。
「平行」和「垂直」概念在定義和描述直線和直線，直線和平面，平面和平面的位置關係中起著重要作用。它集中體現在：空間中的平行關係之間的轉化、空間中的垂直關係之間的轉化以及空間中垂直與平行關係之間的轉化[3]，如圖2所示。
1.2 思維和方法的分析
我們常說：「點動成線、線動成面,面動成體」，一方面是從動態的角度描述直線、平面及幾何體的形成過程，更重要的是在告訴我們立體幾何的思維方法：確定點的位置要靠直線（兩條相交直線），確定直線的位置需要兩個相交平面，確定面需要幾何體，如圖3所示。
在新課標背景下的立體幾何教學削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數量，刪去了大量的幾何證明題，淡化了幾何證明的技巧，降低了論證過程形式化的要求。這樣的安排繼承和發展了普通高中數學課程標準（實驗）的理念，引入合情推理，突出幾何直觀，在大量實際背景，直觀操作和感受的基礎上，引導學生歸納、概括出若干定理，讓學生感受公理化思想，了解證明的含義。但也正像前面我們所指出的那樣，這樣做，不是為了降低幾何證明的難度，而是對幾何證明的要求分階段、分層次，是豐富了幾何教學的價值。
學習時，一方面要引導學生從生活實際出發，把學習的知識與周圍的實物聯繫起來，另一方面，要引導學生經歷從現實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關係，歸納、概括它們的判定定理。
總之，從以上的分析，我們可以看出，本章的最大變化表現是對幾何推理的要求發生變化。
實際上，歐幾裡得公理體系建立以來，幾何與演繹推理結下了不解之緣，幾何教學培養推理能力的這種價值一直得到人們的重視。事實上，推理既有合情推理，也有演繹推理，而且從數學自身發展的過程來看，演繹推理也並非「幾何」所獨有，它廣泛存在於數學的各個分支中。所以，20世紀80年代以來，國際數學教育對幾何推理的要求相應地發生了變化，其普遍趨勢是：從純粹的演繹推理轉向較少的演繹推理，更多地強調從具體情景或前提出發進行合情推理；從單純強調幾何的推理價值轉向更全面地體現幾何的教育價值，特別是幾何在發展學生空間觀念，以及觀察、操作、試驗、探索、合情推理等方面「過程性」的教育價值。
1.3 後續內容和方法分析
在選擇性必修課程裡，學生將在平面向量的基礎上利用類比的方法學習空間向量，運用空間向量研究空間幾何圖形的位置關係和度量關係，如圖4所示，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異，運用向量方法解決簡單的數學問題和實際問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用[3]。
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2.1 內容及其解析（教什麼—學什麼）
2.1.1 內容：平行直線與異面直線；直線與平面平行；平面與平面平行
2.1.2 內容解析：
平行關係是空間中圖形位置的一種基本關係，本單元主要研究組成空間幾何體的基本元素：線、面之間的平行關係，包括直線與直線平行、直線與平面平行和平面與平面平行。從集合與元素角度講就是兩個集合有無公共點的問題。
蘊含的數學思想和方法：
（1）抽象概括的方法。具體說有以下兩點：
①定理得出的抽象過程：實物模型—圖形—文字—符號；
②定理應用中的抽象過程：讀到題目中文字、符號和圖形—聯想實物模型—形成新的圖形、文字和符號；體現從具體和直觀到抽象，再從抽象回到具體，到新的抽象的螺旋提高過程。
（2）從整體到局部、從一般到特殊的研究問題的方法。在本單元體現在兩點：
①在第一單元空間幾何體中，先整體認識空間點、直線、平面之間的位置關係;在此基礎上，再對直線、平面之間平行、垂直這兩種特殊情況重點研究。
②在線面平行和面面平行的判斷和性質定理研究過程中，先給出兩個元素之間的一般位置關係，然後研究特殊的位置（平行、垂直關係）的判定和性質[4]。如表1。
（4）公理化思想和邏輯推理的方法。邏輯推理主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。本單元在線面平行、面面平行的判定定理和性質定理發現中滲透合情推理（歸納、類比），在應用平面的基本事實和推論，線面、面面平行的判定和性質定理證明問題中，體現演繹推理的方法，主要是三段論的形式。在推理中綜合運用幾何語言（包括圖形語言、文字語言、符號語言、集合語言）。建構定理、應用定理過程中體現公理化思想。
（5）研究空間位置關係的一般路徑：直觀感知—操作確認—歸納猜想—推理論證—實踐應用。
知識的上下位關係：本單元知識上下位關係見下圖
因此空間的平行關係上位概念是位置關係，下位概念是直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行。
本單元上承：第一單元空間中的點、線、面的位置關係的提出，在本單元給出嚴格證明；下啟：空間中的垂直關係研究路徑，也為後續所有演繹推理與證明提供思維基礎。
育人價值：本單元是學生第一次經歷系統研究幾何體位置關係（平行關係），建構直線、平面平行的定理體系，應用定理解決問題。是對第一單元線、面的位置關係的再確認和深化，也為研究空間的垂直關係鋪設了研究路徑。
通過觀察實物、模型、圖片，抽象出立體幾何研究的對象，通過實際操作，歸納概括出空間直線、平面的平行關係，學會用數學的眼光觀察世界；藉助直觀想像提出定理，然後嚴格論證定理，用準確的數學語言表達定理，並應用定理解決問題。通過類比、轉化等方法發現和提出空間平行關係的問題，找到研究空間平行關係的路徑，體會研究過程中蘊含的數學思想方法，學會用數學的思維分析世界;在解決具體立體幾何問題中，重視用基本幾何圖形表達問題、用幾何語言描述和理解問題、分析和解決問題，學生學會用數學的語言表達世界。學生既掌握「四基」，又提高「四能」，發展了「核心素養」。體現了立體幾何教學的育人價值。
教學重點：通過直觀感知、操作確認、歸納出空間平行關係的判定定理和性質定理，會論證這四個定理，並會應用這些定理證明有關平行問題，體會研究平行關係中蘊含的數學思想方法和研究路徑。
2.2 教學目標及其解析（為什麼教——為什麼學）
2.2.1 單元目標（服務於整章目標）
（1）藉助長方體直觀認可：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。了解空間平行線的傳遞性，了解等角定理，了解空間中兩條異面直線的定義。
（2）藉助長方體，通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理。
如果平面外一條直線與平面內一條直線平行，那麼該直線與此平面平行；
如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那麼這兩個平面平行。
並在此過程中，感悟從一般到特殊的思維方法，初步了解反證法在證明定理中的作用。
（3）藉助長方體，通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，並會對性質定理進行證明。
一條直線與一個平面平行，且經過這條直線的平面與這個平面相交，那麼該直線與交線平行。
如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
並在此過程中，初步學會用已知結論證明數學問題，理解演繹推理的基本過程。
（4）能夠運用所得定理證明空間中的平行問題。逐步發展直觀想像、邏輯推理、抽象概括等數學素養[5]。
2.2.2 目標解析
達成以上目標的標誌是：
（1）能夠在空間中運用平行的傳遞性證明兩條直線的平行，能把等角定理從平面推廣到空間。能夠藉助襯託平面正確畫出空間中兩條異面直線，並能結合圖形說出兩條異面直線的判斷方法。
（2）能夠觀察實物、模型、圖形等抽象出幾何的研究對象，說出線面平行、面面平行的定義，發現線面、面面平行的判定定理，能從一般與特殊的位置關係中發現用反證法證明判斷定理的緣由。能夠在簡單問題中識別應用判定定理的條件，用判定定理判定空間中的平行關係。
（3）能通過直觀感知、操作確認，歸納出線面平行和面面平行的性質定理，能夠用平面的基本性質、平行的傳遞性、線面平行的定義等已知結論證明性質定理，熟悉演繹推理的基本過程。能夠在簡單問題中識別應用性質定理的條件，用性質定理判定空間中的平行關係。
（4）能夠在較複雜的問題情境中識別應用判定定理的和性質定理條件，藉助幾何圖形，綜合運用判定定理和性質定理解決空間中的平行關係。能夠在定理應用過程中體會到空間與平面的相互轉化，感悟到空間幾何的公理化思想；能夠藉助幾何圖形、幾何語言解釋和證明相關定理或舉出反例，能夠用適當的數學語言進行合理表達。
2.3 教學問題診斷分析（教給誰，誰來學）
2.3.1 學生已有基礎分析
（1）知識準備：學生在學習本單元之前學過與本單元相關的知識，如表2。
（2）思維準備：包括研究方法和表達思維的方式
①研究方法：在研究平行線的性質定理和判定定理過程中，學生初步學會藉助長方體、平行四邊形等基本圖形，直觀感知位置關係，初步滲透從直觀到抽象，從整體到局部，從一般到特殊的研究方法，明確提出可以舉反例說明問題不成立，並通過平移理解平行，用角度關係說明位置關係，從定性描述走向定量刻畫。在研究兩條平行線的性質時，提出兩條直線平行，我們看和第三條直線的關係：若第三條直線與這兩條線平行，符合基本事實：平行於同一條直線的兩兩條直線相互平行，所以只能研究第三條直線與兩條平行線相交，因此產生平行線的性質。
②表達方式：在應用平行線的判定定理和性質、平行四邊形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質中，滲透演繹推理的表達方式，初步學會三段論的證明結構。
2.3.2 學生基礎與目標的差距
可從以下幾個角度比較初中和高中平行關係的差異。
學生面對空間幾何體的直觀圖，發現多個幾何元素及其位置關係、元素間內在的邏輯推出關係比較困難，因此在定理的推導和和證明過程中就要學生充分利用基本空間圖形，找到要研究的元素、發現它們之間的位置關係，根據要證明問題先用分析法（從未知到須知），再用綜合法（從已知到可知，綜合各個可知到新可知），明確條件和結論之間的邏輯橋梁，確定證明問題的「大思路」，然後再關注「小細節」，用數學語言進行嚴謹表達，嚴格推證。培養嚴格推理的好習慣，在應用定理解決問題中要通過面批、比較、展示等手段逐步完善學生思維，這是一個循序漸進的過程，不可能一蹴而就。2.3.3教學難點：通過直觀圖想像出實物圖，在複雜的空間幾何體中，發現多個元素間的位置關係以及內在的邏輯推出關係，準確運用數學語言，依據平行的判定和性質定理證明問題。2.4 教學支持條件分析（什麼條件能支持教，什麼條件支持學）由於學生生活的空間就是三維空間，空間中線、面、體在日常生活中處處可見，因此學生手中的筆，教室裡的實物：桌面、黑板、牆面，這些實物媒介對於學生理解空間幾何元素間的位置關係提供有力支撐。利用GeoGebra軟體或者幾何畫板可以方便做出直線與平面，並且可以平移、旋轉視圖，便於學生觀察直線與直線、直線與平面，平面與平面的位置關係，為有效教學提供技術支持。本單元新授課需5個課時，具體課時分配如下。
第3課時 11.3.3 平面與平面平行(第1課時)
1.課時教學內容
平面與平面平行[5]
2.課時教學目標（服務於單元目標）
1.藉助直觀感知、操作確認，歸納出平面與平面平行的判定定理，會用符號語言、圖形語言、文字語言表示定理；在此過程中，感悟從整體到局部，從一般到特殊的研究方法。
2.會用反證法證明平面與平面平行的判定定理，理解反證法的原因和邏輯；會用判定定理證明幾何問題；在此過程中發展邏輯推理能力和空間想像力。
3.教學重點與難點
教學重點：平面與平面平行的判定定理的證明及其應用；
教學難點：平面與平面平行的判定定理的證明。
4.教學過程設計
【環節1】明確空間平面與平面間的位置關係
【問題1】在第一單元研究直線與平面位置關係時，把直線和平面看做點的集合，我們清楚空間中兩個平面的位置關係有哪些？
預設：學生回答平面與平面的位置關係有兩種：相交、平行，
追問：請大家在表5的表格裡填寫平面與平面位置關係的表示形式。
第107頁課後練習B組第4題．第108頁習題11-3A組第6題4.1 如何做好「整章—單元—課時」的教學設計？
可遵循「總—分—綜的路徑」。「總—分」是指整章—單元—課時，主要是內容和目標的分解，是個物理過程，是教師對教學內容的分析，主要是知識邏輯體系、內容本質和蘊含思想方法的分析，反映教師「理解教學」的程度；「分—綜」是課時教學到單
元、到整章教學結束學生在綜合能力上的提升，是個化學過程，是教師分析學生，立足學情診斷，選擇適當教法，設計適切的問題情境，和學生深度交流後，學生表現出的數學素養的提升。反映教師「理解學生，理解數學、理解教學，理解技術」程度。
「總—分—綜」關係可以用下面表格來呈現。以空間中的平行關係為例，如表7。
這是教師和學生無數次面對面交流得到的最直接材料。學生認知基礎一般分為知識基礎和思維準備。比如本單元中我們通常說學生空間想像力不好，到底那裡不好？我們可以從研究對象的複雜程度、空間中元素間的關係的明顯程度，思維鏈條的長短程度、數學語言表達的難易度幾個角度進行對比，找到學生的困難「點」在哪裡，章建躍老師一直強調教學重點和難點都要落在「點」上。教學最重要的就是清楚學生起點在哪裡？終點在哪裡？根據起點和終點之間的差距選擇合適的路徑。（2）設計適切的問題串和學習情境，引導學生有邏輯的思考數學核心素養通常是在綜合化、複雜化的情境中，通過個體與情境的有效互動生成的[6]。問題的設計和情境的創設要基於準確把握教學內容，精準分析學情、結合教師個人教學特點。問題提出的目的是引導學生有邏輯的思考。比如面面平行的性質定理的發現和證明。面面平行的性質是在兩個平面平行的條件下，研究直線與平面、直線與直線位置關係的不變性。為此提出問題：」類比線面平行的研究，我們研究面面平行的性質定理，首先清楚面面平行的性質定理是在面面平行的條件下，研究誰與誰的位置關係的規律性或不變性？追問1：先看兩個平面平行時，一個平面內的任一條直線與另一個平面的位置關係4.3 教師要有怎樣的思維？
整章—單元—課時的教學設計是個系統工程，教師要有系統化思維。系統化思維是關注事物之間反饋循環的關係，而不是簡單的線性因果關係，強調以整體和動態的視角看問題，全面把握局部和整體、靜態與動態、近期與遠期的關係，縱觀全局並將問題放到整個系統中，逐級分析各結構層次，探索事件發生的深層次原因，幫助人們理解複雜的系統，從而做出正確的決策，並解決現實社會中面對的複雜問題。
數學知識幾乎都是概念。概念具有層次和結構，概念之間存在上、下位的層次關係，一個上位的科學概念之下有眾多的下位科學概念及其概念之間的聯繫。奧蘇貝爾認為:概念不是一段孤立的詞句，而是一個層次性的結構，知識之間有上、下位關係。進一步地，肖沃爾特(Showalter )根據科學概念有邏輯且互相關聯的特徵，構建了由7層概念組成的科學概念的結構，即:知覺感受、直接概念、事實概念、定律概念、創設概念、原理概念及理論概念。7層概念有上、下位之分，理論概念是層次最高的概念，囊括了各類下位概念及概念之間的聯繫。由此可知，科學概念不僅是對客觀事物的本質描述，還是一種更複雜的概念體系，其中包含了事物的內在屬性、事物的深層結構，以及事物之間的邏輯關係，即數學概念的學習是一個有層次結構且互相聯繫的複雜系統[7]。
整章—單元—課時的教學設計有助於提升教師整體把握數學課程與教學的能力;有助於提升教師的數學素養;有助於提高教師的數學教學實踐能力;有助於培養教師的反思意識和團隊協作能力，促進數學教師專業發展[8]。（註：本文自2020年4月成文，後經段養民主編、孫美玲編輯數次精心修改，特致感謝！）