每天一類題——求平面的法向量

2021-02-19 管胖子的數學

        今天開始我們來分析研究立體幾何中的一些具體問題。先從可以建系的題目來分析。立體幾何的題目不外乎以下幾種考察方式：證明、計算以及是否存在。無論其中的哪一種，都涉及到兩種元素——長度和角度。事實上，當我們在建立空間直角坐標系後，只要給出的點的坐標足夠，我們可以解決其中任何的長度和角度問題，但解法中多數都涉及到一個非常重要的因素，就是平面的法向量，今天，我們先來練習如何求取平面的法向量。

① 空間直角坐標系已經建立完畢，不需要考慮證明坐標軸互相垂直的問題

② 各點坐標明確，不需要通過條件確定坐標

③ 此種類型的題目通常是一個題的一個部分，高考中不會直接求取法向量，都是利用法向量的應用來求取其它東西。

求平面法向量通常由五步過程：

當然，如果熟知高等數學中的叉乘和行列式的概念的話，也可以用如下的方法來去取，但是涉及的補充知識較多，並不建議


① 平面直角坐標系的建立要考慮到是否需要證明

② 法向量在設的時候儘可能使用（x，y，z）這樣的設法，而不要過早給其中一個賦值，設成（x，y，1）或者（1，y，z）這種類型，因為如果恰好賦值分量為零，則導致計算失敗。

③ 賦值的時候選擇讓計算簡便的量賦值，只要不賦值為零即可

④ 法向量並不唯一，只要求出結果與最終結果相差倍數關係均為正確答案

⑤  法向量得方向在計算中並不需要過多考慮，反向的兩條向量均可以作為同一平面的法向量。但在應用中的一些地方需要加以注意。

謝謝對管胖子的支持

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