具有複合拓撲不變量的高階奇異聯結點

2021-02-15 兩江科技評論


撰稿|湯偉媛，馬冠聰

近日，香港浸會大學馬冠聰課題組的一項關於高階非厄米系統的研究成果以Exceptional Nexus with A Hybrid Topological Invariant為題，在線發表在《科學》（Science）期刊上。論文一作是湯偉媛，倫敦帝國理工的丁鯤博士是論文的共同通訊作者（馬上要入職復旦大學物理系不過現仍被COVID-19困在英國…）

看到文章題目，也許大家的第一個疑問是：什麼叫「nexus」？玩過著名即時戰略遊戲「星際爭霸」(Starcraft)系列的大小夥伴們可能有印象：遊戲中神族(Protoss)的主基地就叫Nexus。在背景設定中，Nexus是神族的心靈矩陣(psionic matrix)的接入點，是其心靈能量匯聚並得以在宇宙中互聯互通的關鍵節點建築。所以「nexus」具有樞紐、匯聚聯結之意。

現實生活中，類似的例子也比比皆是。比如航線匯聚於樞紐機場

多條公路交叉的路口或立交橋

文中的nexus也是著眼於交叉、匯聚之意。那麼是什麼東西在交叉匯聚呢？交叉匯聚又有什麼後果呢？

現實中的物理系統主要通過連續可微的物理定律來描述，所以奇點在這些體系中的偶然出現往往伴隨著新穎的物理現象。由於復參數的引入，非厄米系統的本徵值可為複數，因此能產生一種特有的奇點——奇異點(exceptional point)。奇異點數學上為支點(branch point)，並伴隨著黎曼面的分岔或交叉。系統在繞奇異點演化是就能體現其本徵黎曼面的特殊幾何特性，因此帶來了獨特的拓撲性質。比如，當圍繞著奇異點繞圈時，本徵模會發生交換，從而產生分數形式的拓撲電荷數。近年來，奇異環、奇異曲面等特殊奇異點結構的發現，更是進一步豐富了非厄米系統中拓撲物理的研究。然而，目前關於奇異點拓撲不變量的研究工作大多只關注兩個本徵模合併的二階奇異點，且只涉及一種拓撲不變量。

本研究著眼於一個三階非厄米哈密頓量，如式（1）所示。

其中， 是三個在位態的固有本徵復頻率，則表示三個在位態的耦合。該系統的物理特性主要由兩組復參數決定，分別為：, 。我們發現，當時，哈密頓量的三個本徵頻率相同，三個本徵向量中有兩個是缺陷的，即意味著三階奇異點的出現。

同時，我們發現該三階系統中能出現多組二階奇異點。並且這些奇異點能夠隨參數變化形成連續的曲線，我們稱之為奇異弧（exceptional arcs）。更有意思，所有二階奇異弧均匯聚於處的三階奇異點, 如圖1A、B所示——exceptional nexus (EX)呼之欲出！另外，通過數學分析，我們發現奇異弧在相交處的一階導數都是不連續的，並且可近似為半立方拋物線。

上述理論模型可通過三個耦合的聲學腔來實現，如圖2A所示。通過調節三個聲學腔的兩個復參數，不僅可以觀測到EX（圖2B、C），而且也可觀測到圖1、B中的多條奇異弧。

我們再細細品味一下圖1A、B：多條奇異弧如噴泉般從EX四散而開，注意到這些弧線的形狀雖然是光滑的(除了EX一點)，但其實它們完全由奇點構成——這就好比你不小心手滑把新買的手機摔了，原本光滑連續的屏幕玻璃上出現了扎眼的裂紋，不得不再氪金換屏。

（此處請見評論區補充）為了研究EX的拓撲特性，本研究在兩個不同的復參數平面（平面和平面），沿著閉合路徑對EX進行繞圈。分析易得，平面和平面上繞EX的閉合路徑不同倫。又由於本徵態的演化被綁定在黎曼面上，我們發現複平面上的閉合路徑需要繞EX三圈才能回到起始點，累積的貝裡相位(Berry phase)為-2π, 得到的卷繞數(winding number)為，如圖3A-C所示。而在複平面上，閉合路徑沿著第一個和第三個本徵態的演變過程繞2圈就回到起始點，相應的貝裡相位為-2π； 而第二個本徵態只繞1圈便可回到自己的起始點，積累的貝裡相位為-π，故該情況下EX的卷繞數為，如圖3F-H所示。故EX可同時具備多於一種卷繞數，我們將其稱為為複合拓撲不變量(hybrid topological invariant)。

為了在實驗上驗證複合拓撲不變量的存在，本研究沿著4個參數方向測量了EX附近本徵態的相剛度（phase rigidity）。我們發現沿著方向的臨界指數(critical exponent)為1，等同於複平面內卷繞數的絕對值（如圖3D、E）；而沿著方向得到的臨界指數則為，與複平面內的卷繞數的絕對值相同（如圖3I-J所示）。實驗結果與理論結果相吻合。

圖1 多條奇異弧匯聚形成EX以及特定參數下的本徵黎曼面。

圖2 聲學實驗裝置以及EX、奇異弧的實驗觀測結果。

 

圖3  複合拓撲不變量的理論分析以及實驗表徵。

該工作不僅在實驗上成功地觀測到了連接多條奇異弧的EX，而且首次發現高階奇異點可擁有複合拓撲不變量，並在實驗上驗證了複合拓撲不變量的存在。這將為非厄米系統及其拓撲特性的相關研究和應用開闢新的方向。

歡迎造訪我們課題組的網站: www.acoustmeta.com 

 文章連結

https://science.sciencemag.org/content/370/6520/1077

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