在前一段熱映的電影《動物世界》中有這麼一個情節：鄭開司被朋友坑欠上了高利貸，不得不上了一條賊船開始了石頭剪刀布的賭博遊戲。在遊戲途中，鄭開司向莊家借款，按分鐘複利計算。片中角色多次提到：利息將是一個天文數字。
我們在儲蓄時，經常聽說「單利」和「複利」兩個詞，簡單來說，單利就是在計算利息時只考慮初期借款額，而複利俗稱利滾利，就是每隔一段時間，將本金和利息算作新的本金，計算下一期利息。那麼，複利真的有這麼厲害嘛？複利的多少到底和什麼因素有關呢？
為了了解這個問題，我們首先來研究一個簡單的模型：如果一個人從別人處借款100元，年利率12%，借款1年，1年後一次性付清本息，那麼最後到底有多少利息？
如果利息是單利，那麼情況非常簡單：每年的利息是100元×12%=12元，到期時一共還款112元。
如果利息是複利，那麼這個12%就是名義年利率。我們除了要知道名義年利率，還要知道複利的分期——即多長時間計算一次複利。
比如：每半年計算一次複利，那么半年的名義利率就是12%÷2=6%。於是：
六個月末，將100元記作本金，計算半年利息，本息一共
一年末，將106元作為新的本金，計算半年利息，期末本息共
相比於單利，複利多了0.36元，看起來並沒有太誇張。這是因為，我們計算的每期複利時間比較長，複利期數較少。如果我們縮短計算複利間隔，情況又是如何呢？
如果每個月計算一次複利，那麼每個月的名義利率就是12%÷12=1%，同時我們要計算12次本息，因此每個月的本息和是：
十二個月後，本息一共是
相比於半年複利的112.36元，月複利的本息和又多了0.32元。
我們不妨來總結一個公式：假設複利的名義年利率是r，借款1年，分期數為n，那麼每一期的名義利率就是r/n。如果初期借款是P，那麼到期還款的本息F一共：
期數n越多，每一期的期限就越短，每一期的名義利率r/n就會越低，但是由於總期數多了，總體的利息會變得越高。如果按天複利、按分鐘複利甚至按秒鐘複利，計算結果就會更大。
那麼問題來了：如果我們把期數n取做無窮大，每一期的計算複利時間無限短，就稱之為連續複利，連續複利到期的本息F到底是多少呢？利息會變成無窮大嗎？
為了計算這個問題，我們需要了解一個非常重要的常數：e
e是一個無理數，稱為自然對數的底，人們最早研究e的目的是為了求解某些乘方和開方問題。後來，數學家歐拉對其進行了深刻的研究，並用字母e來表示它，恰巧歐拉的名字首字母也是E（Euler），所以人們也稱之為歐拉常數。
歐拉計算了這樣一個問題：
令
當n=1時，x=2
當n=2時，x=2.25
當n=3時，x=2.37037…
我們按照這個方法計算下去，可以得到一張圖
從這張圖我們會發現，當n增大時，x會趨近於一個固定值。歐拉從數學上嚴格證明了當n趨向於無窮大時，x會有一個極限值，並將這個值稱為e。
現在我們計算e一般是通過泰勒展開的方式，e可以展開為
其中n！稱為n的階乘，n！=1×2×3×... ×(n-1) ×n，並且0！=1.
e是一個無理數，它的前幾位是2.718281828459045…，其實很好記，大家看，首先是2.71828，然後1828重複一次，再往後是等腰直角三角形的三個內角45、90、45。這個常數在工程計算上的作用一點不比圓周率π小，大家都知道π≈3.1415926，那也應該知道e≈2.71828。
現在我們可以利用歐拉數e計算連續複利了。回到最初的問題：初期借款為P，名義年利率r，借款1年，分期n期，那麼最終本息一共
如果n趨向於無窮大，我們可以將這個式子變形：
我們會發現：當n趨向於無窮大時，n/r也趨向於無窮大，因此
所以，我們得到最終的本息一共
這就是年利率為r的連續複利一年後本息的計算公式。
從公式我們可以看出：即便把複利分期時間取得無限短，複利依然是有上限的。我們代入P=100元，r=12%，可以得到連續複利時一年後本息一共
看起來也不比單利多多少嘛。
複利會受到兩個因素的限制，其一是名義利率，其二是期限。名義利率越高，期限越長，複利的威力也會越大。我們剛剛計算的是借款1年，如果名義年利率為r，借款年限為k年，每過一年，還款額都要乘以e的r次冪。按照連續複利，最終的還款額為
假如借款100元，名義年利率12%，借款30年連續複利，30年後本息一共是3660元，是本金的36倍多。但是如果是單利，則只需要還款460元，兩者相差太多了。
在高利率、長時間借款的情況下，複利的確比單利威力大得多。股神巴菲特的公司每年財富的增長率為24%，看起來並不高，但是他連續保持了40年這樣的增長率，這也使得巴菲特的資產從100美元變成了160億美元。
在電影《動物世界》中，船上借款按分鐘複利，這已經與連續複利相差無幾。電影中並沒有說明具體利率是多少，但是由於在船上的時間很短，下船時利息並不會有多少。只要他們下船能儘快把錢還上，就不會積累成天文數字了。
小胖說這句話，原因不是不懂數學，就是故意說假話，騙李軍不去救鄭開思。聽說這部劇還有第二部，不知道第二部裡會不會告訴我們這個利率具體是多少呢？
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李永樂老師：北京大學物理與經濟雙學士，清華大學電子工程碩士；北京市中學物理教師/物理競賽教練。從教十年，培養清華北大學生200餘人，國際奧賽、亞洲奧賽、國家奧賽金牌十餘名。
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