例85：放射線法畫展開圖
稜錐和圓錐類立體表面的稜線和素線匯交於錐頂成放射線，故採用放射線法畫展開圖較方便，展開後的圖形為扇形。
（1）正圓錐面展開圖（圖9-71）的畫法
正圓錐面的展開圖是一扇面，扇形的半徑等於圓錐素線的長度L，扇形的圓心角：α=D/L×180°
（2）斜口圓錐管展開圖的畫法
畫斜口圓錐管的展開圖時，可畫出正圓錐面的扇形展開圖，然後求得錐面上各素線被斜截後的實長，連線即成。作圖步驟（圖9-72）如下。
①展開正圓錐表面，以正圓錐素線實長為半徑，畫一圓弧；在水平投影上分錐底圓周為12等份；再以每份弦長代替弧長，在所畫圓弧上截取12份，得一扇形。
②做截交線的展開圖，可用旋轉法求實長的原理，過a′、b′、c′、d′、e′、f′作水平線，與最右邊素線相交，再以錐頂為圓心，以錐頂到各交點的距離為半徑，畫圓弧與扇形中對應素線交於A、B、C、D、E、F、G各點，再依次連成光滑曲線即成。
（3）正四稜錐罩展開圖的畫法
展開圖的作圖（圖9-73）步驟如下。
①分析構件主、俯視圖：正四稜錐罩底面四條邊相等，且俯視圖放映實長（L）；而四條稜線相等，但其投影不放映實長，可用直角三角形法求得實長。作法：以一稜線的正面投影長度A為一直角邊，以L/2為另一直角邊，則斜邊B即為稜線的實長，等腰三角形即為一個稜面的實形。
②展開劃線：畫水平線，長度為L；過該線中點作垂線截取A，則斜邊B為稜線的實長，該等腰三角形即為一個稜面的實形；以稜線的實長B為半徑畫圓弧；再以L為半徑量取另三個稜面的實形，順次連線。
（4）三節圓錐管直角彎頭展開圖的畫法
三節圓錐管直角彎頭若伸直後，各素線匯交，便可用放射性法作圖。
展開圖的作圖（圖9-74）步驟如下。
①主視圖作圖：已知彎頭中心半徑R，大小錐口直徑分別為D、d。
a.以R為 半徑畫1/4圓，交直角邊與1′和4′；以此兩點為中點，截取大、小錐口直徑D和d，過1′和4′作1/4圓弧的切線1′2′和4′3′。
b.將1/4圓平分找到中點（作直線的平分線），過中點作該圓弧的切線，與1′2′和4′3′相交。
c.另畫一圓錐臺，底圓直徑為D，頂圓直徑為d，圓錐臺高度為1′2′+2′3′+3′4′。
d.分別以2′和3′為圓心，畫兩個內切圓。
e.將兩個內切圓平移到主視圖中，作兩圓的公切線；再分別過大、小錐口的端點5和8，作兩圓的切線，得到交點6和7。
f.連接O、6和O、7，將直角彎管分為三節。
②展開劃線
a.一般將底圓分為12等份，圖中採用簡化畫法，只畫一半圓分為6等份。作出12條素線的主視圖，求得各素線與相貫線的交點。利用「旋轉法」求得各素線被相貫線截斷後的實長。
b.畫一圓弧，使弧長為πD，也12等分，畫出12條素線，求得相應的交點。
c.用曲線板順次光滑連點，即得表面展開的樣板圖。
d.實際展開畫線時，是將三節圓錐管相互錯開180°，拼接為整張扇形板，畫線下料。
（5）五節圓錐管直角彎頭（蝦米彎）展開圖的畫法
展開作圖（圖9-75）步驟如下。
五節圓錐管直角彎頭各素線匯交，故可用放射線法作圖。
①主視圖作圖（已知彎頭中心半徑R，大、小錐口直徑D、d）
a.以R為半徑畫1/4圓，交直角邊與1′和6′，以此兩點為中點，截得大小錐口直徑D和d，過1′和6′作1/4圓弧的切線1′2′和5′6′。
b.將1/4圓進行4等分，得到4個等分點，分別過四個等分點作該1/4圓的切線，兩兩相交，得到四個交點，2′、3′、4′和5′。
c.另畫一圓錐臺，底圓直徑為D，頂圓直徑為d，圓錐臺高度為1′2′+2′3′+3′4′+4′5′+5′6′.
d.分別以2′、3′、4′和5′為圓心，畫四個內切圓。
e.將四個內切圓平移到主視圖中，作相鄰兩圓的公切線；再分別過大、小錐口的端點作圓的切線，各切線兩兩相交，可把圓錐管分成五節。
②展開劃線
a.一般將底圓分為12等份（圖中採用簡化畫法，只畫一般圓分6等份）作出12條素線的主視圖，求得各素線與相貫線的交點，利用「旋轉法」求得各素線被相貫線截斷後的實長。
b.畫一扇面，使弧長等於πD，也分為12等份，畫出12條素線，求得相應的相貫線。
c.用曲線板順次光滑連點，即得表面展開的樣板圖。
實際展開畫線時，是將五節圓錐管相互錯開180°，拼接為整張扇形板，劃線下料。
（6）圓管與圓錐管正交節頭展開圖的畫法。
展開圖畫圖（圖9-76）步驟如下。
①視圖分析：圓管與圓錐管正交節頭是由兩個相同角度（45°）斜切的圓管與圓錐管正交（兩軸線垂直並相交）相貫組成。相貫線為平行曲線（橢圓）。其主視圖反應各截斷素線的實長。
②展開劃線：分別畫出截切圓管與圓錐管的展開圖。
a.畫出截切圓錐管的展開圖：將豎直圓錐管的俯視圖（圓）分成適當等份（根據精度要求確定），一般分為12等份，對應主視圖的12條素線；畫一扇面，圓周長為πD，也分為12等份，畫出12條素線的展開圖；截取各截斷素線的實長；光滑連接各截斷點，完成斜切圓錐管的展開圖。
b.畫出截切圓管的展開圖：將圓管的左視圖（圓）分成適當等分，圖9-76中採用簡化畫法（直接在主視圖上畫半圓且六等分），展開圖亦僅畫了對稱的一半。
例86：三角形法畫展開圖
（1）異形接頭展開圖的畫法
圖9-77所示異形接頭是一個由圓管過渡到方管的接頭，俗稱「天圓地方」。可用三角形法畫展開圖。
展開步驟如下。
①將表面劃分為若干三角形。由圖9-77中可看出，「天圓地方」是由四個相同的等腰三角形和四個圓角部分組成。若將頂部圓周分為12等份（也可作其他等分），便可將每一圓角分為三個近似三角形。
②求各三角形各邊實長。在三角形各邊中，12和13兩線需用三角形法求實長，其餘各邊均平行於水平投影面，均在俯視圖上反映實長。
③用已知三邊畫三角形的方法，依次畫出全部三角形。
從上述展開圖作法可知，三角形法把不規則的曲面劃分成若干三角形平面，近似地展開，所以得出的展開圖也是近似的。
（2）長方錐臺展開圖的畫法
展開作圖（圖9-78）步驟如下。
①分析構件主、俯視圖：長方錐臺頂面、底面的俯視圖反映實形；而四條稜線的主、俯視圖都不反應實長，可用直角三角形法求得實長，四個梯形稜面（兩兩相等），可分成兩個三角形來求得實形。
②展開劃線：
a.直角三角形法求稜線實長，畫水平線，長分別為ab、be、bd，作垂線等於錐臺高，則斜邊為各線實長AB、BE、BD；
b.作一直線BC，再以B點為圓心，以BD為半徑畫弧，以C點為圓心、以AB為半徑畫弧，得交點D，連成△BCD。
c.再分別以B、D點為圓心，分別以AB、ad為半徑畫兩圓弧，得交點A，連成△ABD。
d.把側稜面分成兩個三角形（△ABE和△BEF），按各邊實長作圖，最後得到側稜面的實形圖。
e.依次攤開。
（3）凸五角星展開圖的畫法
展開圖的作圖（圖9-79）步驟如下。
①分析視圖：凸五角星可看成由10個相同的平面三角形圍成，對於投影不反應實長的邊，需用直角三角形法求得實長。現只分析一個三角形平面△OⅠ1，其中OⅠ邊為正平線，其正面投影O′Ⅰ′反映實長；Ⅰ1邊為水平線，其水平投影Ⅰ1反映實長；只有O1邊為一般位置直線，需用直角三角形法求得實長。
②展開劃線
a.直角三角形法求稜線O1的實長：圖中是以O′1′的高度差H為一直角邊，以水平投影長度O1為另一直角邊，所作直角三角形的斜邊，求得實長的。
b.用三角形法：任畫一直線OⅠ=O′Ⅰ′，分別以O、Ⅰ點為圓心，以Ⅰ1和O1的實長（見正面投影）為半徑畫兩圓弧得交點1，依次連接O、Ⅰ、1三點，完成△OⅠ1的展開圖。
c.按照此方法依次畫出其餘9個三角形的實形圖。
若凸五角星的尺寸有如下關係：γ=0.38196R，H=0.618R，則其平面展開後，扔成為一個完整的平面五角星。
凸五角星可看成由10個相同的平面三角形圍成，如圖9-79（c）所示。從水平投影中可看出，Ⅰ、O、3三點成一條直線，故O3線是正平線，其正面投影O′3′反應實長（見主視圖中的虛線）；OⅠ邊也是正平線，其正面投影O′Ⅰ′也反映實長；Ⅰ1邊為水平線，其水平投影Ⅰ1反映實長。
由於O1=O3，因此，可不必採用直角三角形法求稜線O1的實長了。可用三角形法：任畫一直線OⅠ=O′Ⅰ′，分別以O、Ⅰ點為圓心，以Ⅰ1和O1的實長（見正面投影O′3′）為半徑畫兩圓弧得交點1，依次連接O、Ⅰ、1三點，完成△OⅠ1的展開圖。
按照此方法，依次畫出其餘9個三角形的實形圖。
例87：近似法畫展開圖
球面、正螺旋面、柱狀面等曲面，理論上是不可展曲面，不可能按其實際形狀依次攤平成平面，但實際生產中也常需要畫出他們的展開圖，只好用近似法作圖。
近似法作圖，實質是把不可展曲面分成若干較小部分，將每一小部分看成是可展平面、柱面或錐面來畫展開圖。
（1）圓柱正螺旋面的近似展開畫法
圓柱正螺旋面在生產中，常見於輸送物料的螺旋輸送機，俗稱絞龍。加工時要按每一導程間的一圈曲面展開下料，再焊接起來。
現介紹兩種生產中常用的作圖法。
①簡便展開法。若已知圓柱正螺旋面的基本參數：外徑D、內徑d、導程S、寬度b，一個導程圓柱正螺旋面的展開步驟如下：
a.以S及πd為兩直角邊作直角三角形ABC，斜邊AC即為一個導程圓柱正螺旋面的內緣實長l。
b.以S及πD為兩直角邊作直角三角形ABD，斜邊AD即為一個導程圓柱正螺旋面的外緣實長L。
c.以AC、AD為上下底，以b=（D-d）/2為高作等腰梯形（圖9-80中只畫了一半），沿長DC和Ⅱ為半徑畫圓弧，在外圓上去弧長ⅡⅣ=AD，得點Ⅳ，內圓上去弧長ⅠⅢ=AC，得點Ⅲ，連Ⅲ、Ⅳ即成圖。
②計算法。如圖9-80（d）所示，一個導程圓柱正螺旋面的近似展開圖為環形，若已知R、γ和α，則此環形即可畫出。
已知圓柱正螺旋面導程為S，螺旋面的內、外徑分別為d、D，則內圈和外圈每一圈螺旋線的展開長度可用下式求出：
根據D、d、S計算出R、r、L、l、α之後，即可畫出圓柱正螺旋面的近似展開圖。
實際加工時，不必剪掉α角，即在剪縫處直接繞捲成螺旋線以達到節省材料、錯開焊縫的目的。
（2）天方地橢圓異形接頭展開圖的畫法
展開圖的作圖（圖9-81）步驟如下。
①分析構件主、俯視圖：該異形接頭可看成由四個平面三角形和四個局部斜圓錐面過渡組成，底面（橢圓形）的俯視圖反映實形，前後、左右對稱，對稱面上的素線E1為正平線（其主視圖反映實長，即E1=e′1′）故僅畫出展開圖的1/4即可。
②展開畫法：將一個局部斜圓錐面分為若干等份，如：3份，即在俯視圖中分成曲面△b12、△b23、△b34；利用直角三角形法求得各線段的實長；依次畫出各三角形的實形；用曲線板順次光滑連點，即得表面的展開圖。
（3）馬蹄形接管的近似展開畫法
展開圖的作圖（圖9-82）步驟如下。
①分析視圖：雖然馬蹄形接管的上、下口都是圓，但上口圓處於傾斜位置（正垂面），其正面投影為斜線，水平投影為橢圓；下口圓處於水平位置，其正面投影為水平線，水平投影為圓，反映實形。
由於側表面不是圓錐面，不可用放射線法展開，只能用三角形法繪製展開圖。
將上口小圓和下口大圓劃分為適當等份（圖中，各劃分為12等份）；連接相應等分點，得到12條素線（A1、B2、C3等）；將相鄰兩素線之間的部分再劃分為兩個三角形（總計24個三角形），這樣，便於利用三角形法逐個求得各個三角形的實形。馬蹄形接管前後側面對稱，可僅繪製一半展開圖。
②展開劃線
a.直角三角形求素線實長。例如，ⅠB邊的實長等於以1′b′的高度差為一直角邊、以1b長度為另一直角邊所組成的直角三角形的斜邊。注意，ⅠA=1′a′，GⅦ=g′7′（兩素線是正平線）。
b.逐個畫出各個三角形的展開圖。例如，△ABⅠ的展開圖，是由AⅠ、BⅠ的實長和ab弧長為三條邊形成的。
（4）側圓底方彎管的近似展開圖的畫法
展開圖的作圖（圖9-83）步驟如下。
①分析視圖。為便於展開，可將側圓底方彎管劃分為：前下面（三角形，側垂面）；左右側（平面和部分圓柱面）；部分斜錐面；後板（平面+部分圓柱面，為側垂面）。
②展開劃線
a.前下面（三角形ABⅠ，側垂面）的展開
一、用直角三角形法求素線ⅠB的實長。以1″B″的Y坐標差L為一直角邊、以正面投影1′b′的長度為另一直角邊，則斜邊反映ⅠB的實長。
二、畫出三角形平面ABⅠ的展開圖，AB=a′b′；ⅠB=ⅠA。
b.部分斜錐面ⅠBP的展開
一、先將斜錐面劃分成適當數量的三角形。圖9-83中劃分為四個曲面三角形，即：△ⅠBⅡ、△ⅡBⅢ、△ⅢBⅣ和△ⅣBP。
二、用直角三角形法求素線實長。如以2″b″的Y坐標差L為一直角邊、以正面投影2′b′的長度為另一直角邊，則斜邊即為ⅡB的實長。畫出曲面△ⅠBⅡ的實形圖。
三、用三角形法依次畫出曲面三角形△ⅡBⅢ、△ⅢBⅣ和△ⅣBP的近似 展開圖。
c.左右側平面CBP1P0和部分圓柱面P0ⅦP的展開（平行線法）：
一、以B點為圓心、以正面投影b′p′為半徑畫圓弧，以P為圓心、以L長為半徑畫圓弧，兩圓弧相交，得到交點P1，連接B、P1點，並延長。
二、在BP1直線上截取BE1、E1F1、F1G1、G1Ⅳ1、Ⅳ1P1、P151、5161、6171分別等於B′e′、e′f′、f′g′、g′4′、4′p′、p′5′、5′6′、6′7′。
三、過各截點作PP1的平行線，並分別截取相應長度，如BC=b″c″、E1E=ee″、F1F=f1f、G1G=g1g、Ⅳ1Ⅳ=44″、P1P0=pp″、Ⅴ1Ⅴ=55″、Ⅵ1Ⅵ=66″，得到交點C、E、F、G、Ⅳ、P、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ，光滑連點。
d.後板的展開
一、作水平線CD=a′b′，再作中垂線KⅦ等於伸直的c″7″（c″e″+d″f″+f″g″+g″4″+4″p″+p″5″+5″6+67″）。
二、過各截面（E、F、G、Ⅳ、P、Ⅴ、Ⅵ）作水平線，並截取與主視圖中對應部分相同長度，如EE=1e′、FF=1f′、GG=1g′等。
三、依次光滑連點。