1. 中國人民大學附屬中學；2. 南開大學物理學院
2019 年亞洲物理奧林匹克競賽(APho)第3 題考察了翻轉陀螺。考生們需要利用剛體定點轉動的知識對翻轉陀螺進行建模，面臨以下兩個難點。首先，考生們沒有系統的學過剛體定點轉動的知識，對諸如轉動慣量張量、歐拉角等基本概念不了解。其次，求解過程當中涉及地面參考系、質心參考系和轉動參考系之間的變換。學生們需要區分同一個物理量，例如角速度，在不同參考系當中的表達形式以及它的運動方程。為了幫助同學們備考，我們將首先簡單介紹剛體定點轉動的相關知識，以幫助構建基本的理論體系。然後給出詳細解答。最後介紹進一步的參考資料。
剛體定點轉動
如圖1 所示，翻轉陀螺由一個球缺和垂直於球缺底面的柄組成。球缺的中心為O點，整個陀螺的重心位於C點。陀螺的關於柄旋轉對稱，O、C兩點都在柄的延長線上。當陀螺靜止時，重心C位於O點的下方。當陀螺繞著柄自轉時，其重心會不斷升高，進而發生翻轉。直到最後柄朝下，陀螺繞著柄和地面的接觸點轉動。陀螺重心C 在O 點上方。該現象極大的挑戰了人們在日常生活中形成的物理直覺。按照生活經驗，物體的重心越低就越穩定。那麼陀螺穩定轉動時，重心C應當在O點的下方。定量的解釋需要分析力學等理論物理知識，我們會在後面的章節詳細討論。這裡我們從普通物理出發，給出陀螺翻轉的定性解釋。
圖1 翻轉陀螺的(1)俯視圖和(2)正視圖
先來看陀螺的受力分析。陀螺一共受三個力：重力、支持力和滑動摩擦力。重力阻礙陀螺翻轉。支持力不做功，不改變陀螺的重力勢能和重心高度。按照力學知識，摩擦力做功會使得系統機械能減少，似乎也不會使得重心升高。但仔細分析我們會發現，滑動摩擦力在減少系統總機械能的同時，還會將轉動動能轉化為重力勢能。
下面我們分別從角動量和能量的角度討論滑動摩擦力的作用。先從角動量角度來看。如圖1(b)建立123 坐標系，保證坐標軸2 垂直於紙面向裡，坐標軸3 沿著柄(對稱軸)方向。假設陀螺一開始質心靜止，且繞3軸旋轉，角動量沿3軸的正方向。此時接觸點A的速度垂直於紙面向裡，滑動摩擦力垂直於紙面向外。以重心為支點計算滑動摩擦力的力矩，如果角動量的的方向和力矩的方向滿足如圖1(c)所示的關係，陀螺的角動量會繞2 軸順時針進動。適當的條件下，陀螺會翻轉。從能量角度來看，陀螺開始進動後，摩擦力的力矩將一部分3 軸轉動的動能轉化為陀螺繞2 軸順時針進動的動能。隨著進動，陀螺的重心升高，進動的動能進一步轉化為重力勢能。
下面我們進一步討論翻轉陀螺的定量描述。
A 部分：理論基礎
A1. 轉動慣量
剛體可看作是質點系，其角動量和能可以寫為如下形式
假定剛體中任意兩個質點間的距離不隨的運動而發生變化，則質心參考系中第i 個質點的速度可以寫成 ， 為角速度矢量。代入(1)式可以得到
公式(2)的證明見附錄。其中
稱為轉動慣量張量，它和粒子的坐標 有關。在質心系內研究轉動時，隨時間變化，轉動慣量I也隨時間變化，角動量定理的形式很複雜。於是我們選擇隨剛體一起轉動的參考系(以下簡稱轉動參考系)。在該參考系中，各粒子的坐標都不變，轉動慣量I 也不隨時間變化。如果坐標軸和剛體對稱軸重合、且剛體的質量均勻分布，則非對角元I12= I21 、I13= I31 、I23= I32 恆等於零。將對角元重新記為I11= I1 、I22= I2 、I33= I3 ，式(2)可以簡化為
式(4)中ê1 、ê2 和ê3代表沿著轉動參考系坐標軸方向的單位矢量，它們跟隨參考系一起轉動。可以證明。將對時間求導後得到
轉動參考系中轉動慣量張量Ij不變，故
將
和
代入式(5)，得到
結合式(6)和角動量定理，可以得到歐拉方程
歐拉方程可以描述任意剛體的轉動，但需要注意如下兩點。首先，M1、M2、M3代表轉動參考系中力矩的分量。需要先在地面參考系當中求出力矩，再利用坐標變換求M1、M2、M3的數值。其次，ω1、ω2、ω3代表了轉動參考系中角速度的3 個分量。利用歐拉方程求ω1、ω2、ω3之後，還需要變換回地面參考系。
A2. 歐拉角
這一節裡我們討論轉動參考系和質心參考系間的關係，它們之間可以通過一個線性變換相聯繫。
圖2 歐拉角
圖2 中xyz 代表質心參考系，x' y' z' 代表t 時刻的轉動參考系。通過如下變換可以將xyz 參考系變換到x' y' z' 參考系：先繞z 軸轉動α角，此時xyz 參考系的x 軸轉動到了N軸的位置；再繞N軸轉動β角，此時xyz 參考系的z 軸轉到了z' 軸方向；最後繞z' 軸轉γ角，xyz 參考系的x 軸轉到了x' 軸位置，y 軸轉到了y' 軸位置。轉動後xyz 參考系和x' y' z'參考系重合。α、β和γ統稱歐拉角。因為是x' y' z'是轉動參考系，所以歐拉角隨時間變化，描述x' y' z' 參考系的轉動狀態。α̇、β̇和γ̇代表剛體繞著z 軸、N軸和z' 軸轉動的角速度。以[ê01 ê02 ê03 ]代表xyz 軸方向上的單位矢量，[ê1 ê2 ê3 ]代表x' y' z'軸方向上的單位矢量，N̂ 代表沿圖1 中N軸的單位矢量。總角速度可以寫為
可以證明(見附錄)，質心參考系中角速度的分量表達式為
轉動參考系中角速度的分量表達式為
歐拉角有三個作用。第一，利用歐拉方程(7)解出角速度在轉動參考系當中的3 個分量ω1、ω2和ω3，再結合式(10)求出歐拉角時間的函數關係，最後代入式(9)求出角速度在質心參考系中的分量ω10、ω20和ω30。第二，我們需要利用歐拉角將力矩變換到轉動參考系中，得到分量M1、M2和M3。第三，在計算剛體的動能時，應當將表達式(10)代入式(4)，得到
綜上，求解歐拉方程(7)之後，結合歐拉角可以求出角速度、角動量和動能隨時間變化的關係。
B 部分：賽題詳解
B1
考慮如下三個參考系：慣性系XYZ、中間參考系xyz 和陀螺參考系123。慣性系XYZ 即質心參考系。它的的原點在陀螺的質心，Z 軸豎直向上，X、Y軸在水平平面內。
中間參考系xyz 是一個旋轉參考系，它的原點在質心，ẑ軸靜止且指向正上方，x̂、ŷ軸繞ẑ軸旋轉。旋轉過程中，陀螺的對稱軸始終在xz 平面內。圖3 分別是側視圖和俯視圖。如圖3(a)所示，俯視圖中陀螺的對稱軸和x軸對齊。
圖3 翻轉陀螺的(a)從XYZ繫到xyz系的變換(b)從xyz繫到123 系的變換
按照定義，中間參考系xyz 描述了陀螺對稱軸繞豎直方向的旋轉的角位置。假設旋轉角為ϕ ，如圖3(a)所示。以x̂、ŷ和ẑ代表沿著xyz 參考系坐標軸的單位矢量，X̂ 、Ŷ 和Ẑ 代表沿著XYZ參考系坐標軸的單位矢量。這些單位矢量間的關係滿足如下變換
陀螺參考系123 是固定在旋轉陀螺上的旋轉參考系，其坐標軸和陀螺的對稱軸重合。將xyz 參考系繞y 軸旋轉θ角就可以得到123 參考系，如圖3(b)所示。由此可知，陀螺參考系123 描述陀螺對稱軸和豎直方向的夾角。以、 和代表沿著123參考系坐標軸的單位矢量，根據圖3(b)有
綜上所述，ϕ 和θ 角描述陀螺對稱軸在空間中的指向。
此外，陀螺還會繞著其對稱軸旋轉。以ψ 角描述陀螺繞其對稱軸自旋。對應的角速度為ψ̇ 。這裡提到的ϕ 、θ 和ψ 本質上就是歐拉角。對比圖3和圖4，圖3(a)中的XYZ系對應圖4 中的質心參考系XYZ；xyz 參考系對應x1y1z1參考系，滿足ϕ = α 。圖3(b)中的123 參考系對應圖4 中的x2y2z2參考系，滿足θ = β 。因為軸是對稱軸，所以在123 系中計算的轉動慣量不隨陀螺的轉動而變化。ψ 角是剛體繞陀螺的對稱軸的轉動角，等價於圖4 中的γ角。在123 參考系中觀察，剛體以角速度ψ̇ ( γ̇)轉動。最後，x3y3z3參考系是隨著陀螺一起轉動的參考系，在該參考系中觀察，陀螺靜止。
xyz 系和123 系都是轉動參考系，需要討論x̂、ŷ、ẑ和、 、隨時間的變化規律。參考式(5)可以證明，對於任意矢量都有
其中代表矢量在XYZ 系中的變化率，͂代表矢量在轉動參考系中的變化率，代表參考系轉動導致的矢量的變化( 是參考系的轉動角速度)。x̂、ŷ、ẑ和、 、都是轉動參考系中的單位矢量，滿足 。隨陀螺一起轉動，式(14)中的 是剛體轉動的角速度。單位矢量x̂和ŷ隨著xyz 系一起轉動， 應當取xyz 系轉動角速度。代入式(15)得到
評述：本題中，有三個坐標系，分別標記為xyz坐標系、XYZ坐標系和123 坐標系，它們之間的變化關係如上述各式。在解題時要弄清楚，避免搞混。
B2
受力分析如圖5 所示。
圖5 陀螺的受力分析
其中包括支持力N和重力mg和摩擦力Ff。陀螺的質心可能會在豎直方向上加速，所以地面的支持力N 和重力mg 並不平衡。Ff是滑動摩擦力，大小為μkN ，與接觸點A的速度vA 方向相反。陀螺所受的合力為
B3
除了重力，其他的力都作用在接觸點。如圖5所示，O為幾何中心，C為質心，接觸點為A。在參考系xyz 和參考系123 中，接觸點A相對質心的位置矢量分別表示為
其中R 為陀螺半徑，α描述陀螺質心和幾何中心的偏離程度。式(17)的計算利用了式(13)。
以陀螺的質心為支點計算總力矩 。將式(17)代入，考慮到摩擦力Ff有x 和y兩個方向的分量，可以求出
圖6 翻轉陀螺上的坐標系與接觸點的相對位置矢量
根據圖6，有ẑ× = sin θŷ。再利用式(13)將分解為= sin θx̂+ cos θẑ，代入式(18)可得
評述：受力分析是物理的基本功，即使對於這樣看似複雜的題目，也是如此。
B4
以地面為XY 平面建立地面參考系。在地面參考系中，陀螺質心的位置矢量為 。接觸點相對於質心的位置矢量為 ，則地面參考系中接觸點A的位置矢量為 。接觸點的速度 可以分解為質心的速度 和接觸點相對於質心的速度 。我們在圖4 所示的x3y3z3 參考系中討論 。根據式(15)有
因為x3y3z3 參考系隨陀螺一起轉動，在該參考系中接觸點相對靜止，所以 。則接觸點速度為
其中為x3y3z3 參考系的轉動角速度，也是陀螺的轉動角速度。再利用 、和式(15) 可得：
因為接觸點在地面上，所以 。單位矢量ẑ始終豎直向上，所以有 。對zA 求導
聯立式(22)和(23)，即可證明 。
B5
與式(8)類似，陀螺的轉動包含繞ẑ、和三個軸的分轉動，總角速度是這三個方向上轉動角速度的矢量和
利用式(13)，將角速度變換到xyz 參考系或者123參考系，得到
評述：根據圖5，式(24)分別是角速度在xyz 參考系(x1y1z1參考系)和123 參考系(x2y2z2參考系)中的分量表達式，而式(9)和(10)分別是角度速度在XYZ系(質心平動參考系)和x3y3z3(隨陀螺一起轉動的參考系)中的表達式。原則上來說，陀螺的轉動和參考系的選擇無關。但為了保證轉動慣量不會隨著陀螺的轉動而變化，我們必須在123 參考系(x2y2z2參考系)和x3y3z3參考系中研究陀螺的轉動。
B6
式(4)給出陀螺的總動能，考慮重力勢能之後，陀螺的總機械能為
利用式(21)、(24)和，可以把質心的速度質心速度 表示為接觸點速度 和角速度 的函數
利用ẑ× = sin θŷ和式(13)，將和ẑ× 化簡，得到
代入質心平動的動能表達式 ，得到
為保證轉動慣量不隨時間變化，我們在123 系計算陀螺的轉動動能。因為軸是陀螺的對稱軸，所以陀螺的轉動慣量為
將123 系中角速度的分量表達式，即(25)式的第二式代入，
得到
在式(11)中令I1= I2 也能得到相同的結果。
評述：以上幾問，涉及了力矩、角速度、運動方程、張量等概念，在計算中，用到了矢量計算，對數學基本功提出了很高的要求。
B7
根據角動量定理 和式(19)，有
B8
先討論總能量。陀螺受重力-mgẑ、支持力Nẑ和滑動摩擦力 。重力做功不改變機械能，支持力不做功。滑動摩擦力摩擦力與速度方向相反，做負功，使陀螺的總能量單調減小。根據式(16)，總能量變化率為
再討論質心平動動能KT 。剛開始釋放時，陀螺的質心靜止，接觸點處的滑動摩擦力使得陀螺開始平動，KT 增加。翻轉之後，摩擦力使質心減速，直到KT 減小到零。因此平動動能先增加後減小。
最後討論轉動動能KR 和重力勢能UG 。結合圖7 和式(30)可以定性解釋為什麼陀螺會翻轉。當接觸點的速度 如圖7 所示時，俯視圖中陀螺繞著其對稱軸逆時針旋轉，角動量向上， 。另一方面，滑動摩擦力沿著y 軸負方向，Ff,y < 0 。根據式(31)，̂隨時間減小。如果最後 ，陀螺翻轉。在此過程中，摩擦力在ŷ方向的分力導致了從轉動動能KR 到重力勢能UG 的能量轉化。
圖7 翻轉陀螺的俯視圖
B9
綜上所述，滑動摩擦力的作用使陀螺的總能量單調減小。停止運動時，質心位於幾何中心正上方。此時動能為零，重力勢能保持不變，總能量不變，如圖8(a)所示。翻轉過程中，陀螺的質心升高，重力勢能單調增加。最終質心穩定在幾何中心上方，重力勢能保持恆定，如圖8(b)所示。平動動能先增加後減小，如圖8(c)所示。整個過程中，因為滑動摩擦力的作用，轉動動能轉化為平動動能、重力勢能和內能。整個過程中轉動動能單調減少，如圖8(d)所示。
圖8 各種能量隨時間的變化過程
B10
根據式(4)中的第一式和式(25)中的第二式，有
和3̂做矢量乘積：
B11
假設Jellett 積分的表達式為。對時間求導之後，利用角動量定理可得
如果上式右邊的兩項都恆等於零，則可以證明
為守恆量。
根據表達式
可知，若取 可使得 。
下面只需驗證
。
根據定義，可知
。
再利用式(33)，可得
。
綜上。
C 部分：翻轉條件
在第七問的討論中，我們利用角動量定理定性說明摩擦力的力矩可能會使得角動量的豎直分量變號，從而發生翻轉。但並沒有給出這個翻轉過程發生的條件。參考文獻②與參考文獻③從剛體力學出發給出了翻轉陀螺運動的完整運動方程和翻轉的條件。我們將文獻中的結論概括如下。文獻③的作者假定翻轉陀螺只受到滑動摩擦力。滑動摩擦力使得陀螺的機械能單調減小，直到開始做純滾動。此後陀螺的機械能守恆，其大小依賴對稱軸的傾斜角θ。通過對機械能求極小值，作者證明翻轉陀螺可能出現三種不同的轉動狀態：不翻轉(質心在幾何中心正下方)、翻轉(質心在幾何中心正上方)、傾斜轉動(陀螺對稱軸傾斜角θ不為零)。這三種狀態下θ都不隨時間變化。最後作者利用微分方程的穩定性理論證明，當陀螺的結構滿足的條件
時陀螺會發生翻轉。其中c 是一個常數。該證明依賴於一個很重要的假設：進入純滾動的狀態後，陀螺不受摩擦力。實際上，地面和陀螺之間可能存在靜摩擦。考慮靜摩擦後的運動方程見附錄。綜上所述，翻轉陀螺的運動過程可以分為兩個階段：陀螺和地面相對滑動的階段和純滾動的階段。這兩個階段的動力學共同決定了陀螺是否會翻轉。根據微分方程理論，這兩個階段的動力學方程不可積，所以我們不能得到一個簡單的判據來判斷陀螺是否翻轉。
賽題背景：
翻轉陀螺
圖9 中的兩個老先生，對物理學做出過巨大貢獻，年長點的叫玻爾，年輕點的叫泡利。尼爾斯·亨利克·戴維·玻爾(Niels Henrik David Bohr，1885 年10 月7 日~1962 年11 月18 日)，丹麥物理學家，1922年獲得諾貝爾物理學獎。玻爾引入量子化條件，解釋了氫原子光譜，稱為玻爾模型，還提出互補原理是哥本哈根學派的創始人，對20 世紀物理學的發展有著深遠的影響。
圖9
沃爾夫岡·泡利(Wolfgang E.Pauli，1900 年4 月25 日~1958 年12 月15 日)，美籍奧地利裔物理學家，1945 年獲得諾貝爾物理學獎。泡利提出了泡利不相容原理和β衰變中的中微子假說等，在量子力學、量子場論和基本粒子理論方面做出了重要貢獻。
玻爾和泡利正在玩「翻轉陀螺」，這是一頭大一頭小的對稱陀螺。當陀螺大頭朝下在地面上轉動的時候，除了像普通陀螺那樣繞著豎直方向進動意外，還有可能整體向下翻倒，以小頭著地繼續轉動，正式因為如此，才叫做翻轉陀螺。
陀螺旋轉時，在不受外力影響時，其旋轉軸所指的方向是不會改變的。根據這一道理，可以製造出各種陀螺儀。其實，我們日常騎行的自行車的輪子轉動時不容易倒，就是因為車軸旋轉時能夠保持水平。
陀螺的運動是分析力學中的一類經典問題。對陀螺運動的研究既有著深刻的理論意義，又能推動技術的進步。從理論上看，利用歐拉角寫出的陀螺運動方程通常都是非線性微分方程，這些方程只有在特定條件下才能求解析解。其中比較著名的就是不受外力(歐拉陀螺)和在恆定重力作用下的定點運動的情況(拉格朗日陀螺)。為了進一步研究陀螺運動的性質，數學家和力學學家們引入了很多新的數學工具，例如辛幾何、拓撲學、李群，等等。這些理論研究揭示了陀螺運動的部分性質，也促進了相應數學工具的發展。
陀螺運動方程的精確解能幫助我們進一步提高儀器性能。以衛星為例，在繞地球轉動的過程中，衛星在潮汐力的作用下有可能發生自轉，影響衛星的正常功能。陀螺運動的理論可以幫助科研人員優化衛星內的質量分布，避免衛星自轉，提高衛星工作性能。反之利用衛星的自轉和進動，我們可以研究地球的潮汐力，從而推算地球的質量分布。
陀螺儀能夠精確地確定運動物體的方位，在航空、航天、航海、航天等領域應用廣泛。傳統的慣性陀螺儀主要是機械陀螺儀，結構複雜，精度有限。新一代的光纖陀螺儀結構緊湊、靈敏度高、工作可靠，已經取代了機械陀螺儀，成為導航儀器中的關鍵部件。
本試題以翻轉陀螺為研究對象，研究其物理原理。
歐拉角：
歐拉角是用來唯一地確定定點轉動剛體位置的三個一組的獨立角參量，由章動角θ、進動角ψ和自轉角φ組成，最早是有大數學家L.歐拉提出，所以命名為歐拉角。
張量：
張量是一個可用來表示在一些矢量、標量和其他張量之間的線性關係的多線性函數。矢量是一階張量，張量概念是矢量概念的推廣。
張量的術語起源於力學，最初是用來表示彈性介質中各點應力狀態的，後來逐漸發展成為物理學的一個有力的數學工具。隨著1915 年左右愛因斯坦的廣義相對論的引入，張量微積分獲得了更廣泛的承認。張量可以滿足一切物理定律必須與坐標系的選擇無關的特性，因此非常重要。
參考文獻
① 朗道: 力學. 高等教育出版社
② F. Scheck: Mechanics: From Newton’s Laws to Deterministic Chaos. Springe. P231-p238 (2010)
③ St. Ebenfeld, F. Scheck: Ann. Phys. (New York)243, 195(1995)