對稱陀螺的定點轉動是個有趣的力學問題，對於理解角動量-力矩關係和剛體轉動問題都很有幫助。中學物理也能夠理解，但是也有可能犯錯——我在昨天寫的初稿裡就犯了錯誤。感謝tianying老師和sijing20120老師指出了我的錯誤。
天旋地轉回龍馭，到此躊躇不能去
我認為，大學普通物理的力學只有三個半問題，它們包含了所有必要的物理內容。把這三個問題搞懂了，力學也就學明白了。
這些問題碰巧也能用中學物理來定性半定量地理解，但是，高等數學才能真正顯示威力。從這些問題裡，我們可以知道中學物理的能力和局限性，可以了解大學普通物理的重要性。
現在就來談談陀螺問題：對稱陀螺的定點轉動。高速轉動的軸對稱重陀螺，放在桌面上。如果陀螺的軸與桌面垂直，與重力方向一致，它當然可以保持這種狀態不變；如果你推它一下，陀螺會發生傾斜，但是不會倒下，而是繼續自轉，同時繞著垂線方向轉動(這就是所謂的進動)。如果自轉方向是順時針方向，那麼進動方向也是順時針方向；反之亦然。
顯然，這種情況與靜止陀螺不一樣。靜止的陀螺也可以垂直地放在桌面上，但是那個位置是不穩定的平衡點，任何風吹草動都會讓它倒下來。
我們分三種情況來討論：初始狀態，對稱軸垂直於桌面；收尾狀態，對稱軸與垂線保持固定夾角，陀螺既有自轉又有進動；這兩者之間的過度狀態，即陀螺傾倒的過程。
初始狀態很簡單，陀螺繞著對稱軸轉動，對稱軸垂直於桌面，與重力方向一致，桌面的支持力向上，正好與重力平衡。摩擦力使得陀螺的轉動逐漸變慢。
收尾狀態就複雜一些。中學生不懂剛體，只會用質點，所以先考慮一個簡化模型：對稱陀螺由兩個質點A和B構成，這兩個質點位於無質量的堅固十字架的橫枝兩端，十字架的豎枝是轉動軸。陀螺的自轉角速度為ω，順時針方向，進動角速度為Ω，也是順時針方向。質點A轉到最上方的時候，運動方向向前，質點B在最下方，運動方向向後。在陀螺自己看來，這兩個速度大小是相等的；但是在桌面上看，因為陀螺整體在進動，所以A的速度就小於B，這兩個質點的離心力就不一樣(A小於B)，但是都垂直於進動軸(經過接觸點的垂線方向)向外。
【注意：陀螺自轉的向心力是內力，不會改變角動量】。在條件合適的時候，這個離心力的合力與陀螺的重力、桌面的支持力保持平衡，總的合力為零。如果把陀螺當成一個槓桿，支點為陀螺與桌面的接觸點，那麼兩個離心力的合力矩也正好與重力的力矩相等。這就是收尾狀態保持不變的原因。
再討論過渡狀態。在陀螺傾倒的過程中，陀螺有個整體向下的轉動。考慮兩個質點A和B都在水平方向的情況。在陀螺看來，A運動的方向向下，B向上，二者的大小相等，方向相反。由於陀螺整體在向下轉動，所以，在桌面上看，A的運動速度大於B，二者離心力的合力不為零(與接觸點的摩擦力抵消)，合力矩也不為零，使得陀螺也沿著順時針方向運動。
對稱陀螺繞著對稱軸旋轉對稱，陀螺的每一個點都有個對稱點。所以，這個雙質點陀螺的論證很容易推廣到對稱陀螺的情況。中學物理就是這樣理解陀螺問題的，這其實跟過山車一個道理，但是要涉及到力矩，所以複雜了一些而已。
接下來我們再用大學普通物理學的知識來理解陀螺問題，仍然是定性討論。
收尾狀態。選擇一個非慣性參考系，以進動角速度Ω轉動的參考系，那麼，在這個參考系中，陀螺只是在傾斜地自轉。此時有兩種慣性力：陀螺整體的離心力，由支點處的摩擦力抵消；轉動參考系中運動物體的科裡奧利力，與重力平衡。仍然採用上面的雙質點陀螺模型，可以看到，最高點A受到的科裡奧利力是2v×Ω，最低點A受到的力是2(−v)×Ω，這兩個力大小相等、方向相反，構成了一對力偶，其合力和合力矩正好與重力(+支持力)和重力矩平衡。注意，這裡是矢量乘法。
過渡過程也一樣。在傾倒過程中的某個特定時刻，可以選擇一個轉動參考系，科裡奧利力構成的力偶使得陀螺發生順時針的進動，如果進動還不足以實現收尾狀態，陀螺就會繼續傾倒，傾倒的角速度就會增大，科裡奧利力也就增大，直到動態平衡位置。更詳細的討論可以表明，傾倒過程可能會發生過衝，然後又折回來，再跌下去，如此反覆不已，這就是所謂的章動。
這些方法還是不夠直接。大學普通物理會教我們如何描述和解決對稱陀螺的定點轉動問題，引入轉動慣量、轉動方程，最後就是求解微分方程組。如果是學習朗道講義的學生，那就更直接了，先用歐拉角描述剛體的狀態，再寫出拉格朗日量，然後用變分法得到的拉格朗日方程直接得到描述陀螺運動的微分方程組，就可以得到漂亮的封閉形式的解(橢圓積分有什麼可怕的?)，自轉、進動和章動，一個個都是清清楚楚的。然後，然後就沒有然後了。一切都是那麼自然而然的，自然得讓初學者忘掉也有前面那些笨拙方法可以理解的道理。但是，我覺得吧，笨人的笨法子，有時也會有些用的，就像羅大佑唱的那樣，野百合也有春天。
布衣豈常賤，世事車輪轉。
——劉駕《上馬嘆》
PS：
關於非慣性參考系，大學生總應該知道些的。我大概也會寫一篇文章，只是沒有想好題目，也許可以用《力學教學筆記之萬法歸一》?
後記：
初稿犯的錯誤如下。
1. 現象描述。應該是「自轉方向是順時針方向，那麼進動方向也是順時針方向；反之亦然。」初稿寫反了。
2. 離心力的方向。應該考慮的是垂直於進動軸，而非垂直於自轉軸。
3. 科裡奧利力的方向。應該是v×ω，而非ω×v。
犯錯誤是因為事先知道結論，就忽略了現象的描述和解釋的細節。
PS：有圖有真相
張云：陀螺進動的簡單圖示
http://blog.sciencenet.cn/blog-729147-1014219.html
M=r×F永遠逆時針(r要出去)，所以根據角動量定理dL=Mdt也永遠逆時針。。。。。。
那些「轉動產生力矩抵消重力力矩」的說法，其實和「運動產生離心力抵消萬有引力」是一類意思。混淆了因果關係。應該是「力矩改變轉動狀態」，「力改變運動狀態」。
張雲老師的說法更加嚴格、正確。我只能說，這篇文章本來就不是很嚴格，目標也只是針對剛入學的大學生——希望沒有把他們搞暈。
原文連結：http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1013773.html
本文轉自科學網姬揚的博客，作者姬揚，中國科學院半導體研究所，研究員。封面圖片來自百度經驗。
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