解題的快樂源於我們對題目的探究及其內在美的體悟．許多經典試題背後都隱藏著一段極為精彩的數學故事．讓我們跟隨這些題，走一趟奇妙的歷史與文化之旅吧，讓我們遊歷萬物皆（有理）數」的畢達哥拉斯為代表的希臘文明的數學時代。
我們先看看形數理論吧，開拓為古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯，其畢達哥拉斯學派在研究數的概念時，用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，等等，小石子可以擺成不同的幾何圖形，從而就產生了一系列的形數．即將「數」與「形」結合起來研究。他們在研究「數」時，就常常把「數」同畫在平面上的「點」聯繫起來，按照「點」的形狀將數進行分類，進而結合圖形性質推導出數的性質。通過形數，畢達哥拉斯學派在世界數學史上首次建立了數和形之間的聯繫，有效地印證了該學派「萬物皆數」的觀點．另外，畢達哥拉斯還給出了形數的有趣性質，比如：兩個相鄰三角形數之和是正方形數. 即
又如他們發現一個數（N)的平方等於前N個奇數的和。比如，N=4時，4=16=前4個奇數的和（1+3+5+7）。你可以自己給定一個N試試。
畢達哥拉斯學派對完全數很感興趣。如果一個數的所有因子的和正好等於這個數，那麼這個數就叫完全數。比如6的因子是1、2、3，而1+2+3=6，所以6是一個完全數。畢達哥拉斯學派還至少發現了第一對親和數，即有些成對的數字，一個數的所有因子的和正好是另一個數。比如說220的因子分別是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，它們的和是284；而284的因子分別是1、2、4、71、142，它們的和是220. 畢達哥拉斯學派最崇拜的數字是10，據說它是一個三角形數，因為它是一個遞增數列的和：1+2+3+4=10。在用點代替數字時，它的三角形性質更顯露無疑。畢達哥拉斯學派把有10個點的三角形稱為神秘三角，不僅因為它構成了一個等邊三角形 ，也因為它的邊代表了畢達哥拉斯發現的和諧比例，分別是2：1、3：2和4：3。可以說畢達哥拉斯學派的人被認為是數學理論以及算術性質研究的奠基人。
下面通過幾個經典問題開拓解題思路，培養解題思維，來深入體會畢達哥拉斯形數魅力吧，
1．閱讀與證明：請閱讀以下材料，並完成相應的任務．
任務：請根據以上材料，證明以下結論：
傳說古希臘畢達哥拉斯（Pythagonas，約公元570年﹣約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，比如，他們研究過1、3、6，10…由於這些數可以用圖中所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數，第n個三角形數可以用n(n+1)/2（n≥1）表示．
任務：請根據以上材料，證明以下結論：
（1）任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數；
（2）連續兩個三角形數的和是一個完全平方數．
變式1．閱讀下列材料解決問題：
材料：古希臘著名數學家 畢達哥拉斯發現把數1，3，6，10，15，21…這些數量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數為三角形數．
把數 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即
（2）根據（1）的結論判斷66是三角形數嗎？若是請說出66是第幾個三角形數？若不是請說明理由．
（3）根據（1）的結論判斷所有三角形數的倒數之和T與2的大小關係並說明理由．
【解答】（1）根據題意得：an＝n(n+1)/2（n為正整數）；
（2）66是三角形數，理由如下：
變式1．（2010武漢模擬）古希臘的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…稱為三角形數；把1，4，9，16，…稱為數正方形數．「三角形數」和「正方形數」之間存在如下圖所示的關係：
即兩個相鄰的「三角形數」的和為一個「正方形數」，則下列等式符合以上規律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
【分析】符合條件的兩個三角形數要滿足二個條件：兩個三角形數之和等於正方形數，兩個三角形數之差等於正方形數的平方根．
【解答】：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠√21，所以A是錯誤的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝√81，所以B是正確的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠√25，所以C是錯誤的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠√64，所以D是錯誤的．
故選：B．
變式2．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數稱為「三角形數」，而把1、4、9、16…這樣的數稱為「正方形數」，從圖中可以發現任何一個大於1的「正方形數」都可以看作兩個相鄰「三角形數」之和．
（1）第5個三角形數是_______，第n個「三角形數」是_____，第5個「正方形數」是____，第n個正方形數是_____；
（2）經探究我們發現：任何一個大於1的「正方形數」都可以看作兩個相鄰「三角形數」之和．
例如：①4＝1+3，②9＝3+6，③16＝6+10，④________________，⑤________________，…．
請寫出上面第4個和第5個等式；
（3）在（2）中，請探究第n個等式，並證明你的結論．
【解答】（1）15，n(n+1)/2，25，n2；
（2）根據①4＝1+3，②9＝3+6，③16＝6+10即可得出第4個等式為第5個三角形數等於第4個三角形數加上第5個三角形數，第5個等式為第6個三角形數等於第5個三角形數加上第6個三角形數；
25＝10+15，36＝15+21；
（3）第n個等式為第（n+1）個「三角形數」等於第n個「三角形數」加上第（n+1）個「三角形數」．
變式3.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …這樣的數稱為「三角形數」，而把1、4、9、16 …這樣的數稱為「正方形數」．
（1）49是一個正方形數，請你把它寫成兩個三角形數和的形式49＝_____+______；
畢達哥拉斯學派的學者甚至將這種數形結合的思想推廣到三維空間，從而構造出了立體數．
3.（2019博望區校級模擬）畢達哥拉斯學派在世界數學史上首次建立了數和邢之間的聯繫，討論了各種平面數（包括三角形數、正方形數、長方形數、五邊形數等），甚至將平面數推廣到了立體數，如圖所示：
其中三稜錐數依次為1，4，10，…，則第20個三稜錐數為________．
由此可見，畢達哥拉斯形數是多麼神奇和神秘，充滿了無窮的魅力．高斯曾在日記中寫道：「ErPHKA! num＝△＋△＋△」．這裡的ErPHKA是希臘文「發現」或「找到」的意思．到底是什麼發現讓高斯如此興奮？原來他找到了「自然數可表示為三個三角形數之和」的證明（num為數的縮寫，△表示三角形數）．