牛頓、貝克萊無窮小之爭,差點推翻微積分理論,顛覆整個數學體系

1665 年 5 月 20 日,這是數學史極具意義的一天，偉大的物理學家牛頓第一次提出「流數術」（微分法），而到了 1666 年 5 月又提出了「反流數術」(積分法),這標誌著微積分的創立。而後來萊布尼茨也獨立地創立了微積分理論，牛頓、萊布尼茨的微積分理論在數學史上具有重大的意義。

牛頓提出微積分主要還是為了解決以下問題：

1、已知物體運動的「距離——時間」函數關係求任意時刻的速度和加速度。「任一時刻」的時間間距是0，那麼他的位移量也必然是0，這就出現了v=0/0的困難2、求曲線的切線3、求函數的最大、最小值4、求曲線的長、曲線圍出的面積、曲面圍出的體積、物體的重心問題。

所以微積分主要存在這幾個方面的內容，主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論；積分學包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

牛頓微積分手稿

但是剛剛創立的微積分也存在著許多的缺陷，比如當時歐氏幾何一統天下，牛頓也並沒有擺脫歐氏的影響，微積分還處於依賴幾何論證的基礎上。

牛頓受笛卡爾解析幾何影響很大

另外就是關於牛頓導數的定義並不太嚴密，比如說 x2 的導數,先將 x 取一個不為0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,後再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最後突然令 Δx = 0 ,求得導數為 2x 。我們知道這個結果是正確的，但是推導過程確實存在著明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設Δx是不為0的，而在論證的後一部分又被取為0。那麼到底是不是0呢？牛頓後來也未能自圓其說。

而這漏洞偏偏被基督教大主教喬治·貝克萊給發現了。要知道，在文藝復興的影響下,自然科學逐步從中世紀的神學桎梏中解脫出來，歐洲逐漸走向科學大繁榮時代，宗教神學走向衰弱。

文藝復興，繪畫也由神性走向人性

基督教主教貝克萊一直心有不甘，想要反擊，所以發現了微積分的漏洞之後，出自對科學的厭惡和對宗教的維護，他以「渺小的哲學家」之名出版了一本標題特別特別長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文,其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達,或更明顯的推理》。沒有看錯，這就是完整的書籍標題，你要是能把這標題背下來，算你狠。

在這本書裡，貝克萊就抓住了牛頓微積分的把「無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計」的漏洞進行攻擊，藉此想要復活上帝。貝克萊還把「微小增量」嘲諷的稱之為「無窮小精靈」。

除了對無窮小量的批判，因為導數定義不嚴密問題，他在書中還大肆攻擊流數（導數）

「已死的幽靈……能消化得了二階、三階流數的人，是不會因吞食了神學論點就嘔吐的。」「用忽略高階無窮小而消除了原有的錯誤，是依靠雙重的錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果。」

貝克萊

由此，引發了數學史上的又一次危機，這是神學對科學的一次激烈反撲，貝克萊的話也被稱為「貝克萊悖論」。貝克萊悖論可以表述為「無窮小量究竟是否為0」的問題：就無窮小量在當時實際應用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無疑是一個矛盾。

貝克萊的言論可以說在當時引起數學界一片混亂，貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。不僅差點推翻了微積分理論，甚至要顛覆整個現有的數學體系。

這主要是因為其數學分析的嚴密性問題一直沒有得到解決，當時的數學家還依賴於幾何論證，缺乏完備的實數理論，無論是數學分析還是代數都籠罩於歐氏幾何的陰霾中。

再加上當時受歐氏幾何的束縛，本來就有許多數學家懷疑微積分的全部工作。比如和牛頓同時代的數學家羅爾就說：「微積分是巧妙的謬論的匯集」。甚至有數學家諷刺：「如果牛頓知道連續函數並不都是可導的，（如f(x)=|x|,在原點就不可導）那麼微積分就不會誕生了」。

所以貝克萊的話一下就把這質疑的聲浪給挑起來了。

牛頓在 1676 年寫的論文《曲線的求積》和 1687 出版的物理學的聖經《自然哲學的數學原理》中，曾使用了「最初比與最終比」來解釋這個悖論，力圖避開實無限小量，並且試圖重新解釋無窮小增量單位「瞬」的概念重新說明，還使用了「最初比與最終比」來解釋這個悖論，從實無限小量觀點轉向了極限觀點。

牛頓提出的最初比與最終比方法

牛頓提出的最初比與最終比方法相當於求函數自變量和因變量變化之比的極限，為後來的極限理念奠定了基礎。

但是他並沒有解決貝克萊悖論，甚至帶來了更多的混亂。

萊布尼茲曾試圖用和無窮小量成比例的有限量的差分來代替無窮小量，但是他也沒有找到從有限量過渡到無窮小量的橋梁。而他的追隨者使用「無窮小的非0量」以求過關。但追究起來，也無非是「文字花招」。

兩大天王都束手無策

到了牛頓和萊布尼茨去世也並沒有解決這個問題，從而引發無數數學家前赴後繼來修補微積分這座大廈所出現的漏洞，這中間，耗費了整整 150 年的時間。

第一個對微積分開始修補工作的是麥克勞林，他是牛頓的鐵粉，堪稱牛頓粉絲團團長，曾蒙牛頓的栽培，作為 18 世紀英國最具有影響力的數學家，他的人生目標是繼承、捍衛、發展牛頓的學說而奮鬥。

他 1742 年撰寫的《流數論》以泰勒級數作為基本工具，是對牛頓的流數法作出符合邏輯的、系統解釋的第一本書。此書之意是為牛頓流數法提供一個幾何框架的，以答覆貝克來大主教等人對牛頓的微積分學原理的攻擊。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數學說，還把級數作為求積分的方法，並獨立於柯西以幾何形式給出了無窮級數收斂的積分判別法。他得到數學分析中著名的麥克勞林級數展開式，並用待定係數法給予證明。不過因為當時還沒有完備的實數理論，麥克勞林還是依賴於幾何方法去修補，只是起到了對微積分的梳理作用，並沒有真正解決微積分存在的漏洞。

第一個為補救第二次數學危機提出真正有見地的意見的是法國數學家達朗貝爾。他在1754年指出，必須用更可靠的理論去代替當時使用的粗糙的極限理論。但是他本人未能提供這樣的理論。最早使微積分嚴格化的是拉格朗日。為了避免使用無窮小推理和當時還不明確的極限概念，拉格朗日曾試圖把整個微積分建立在泰勒公式的基礎上。但是，這樣一來，考慮的函數範圍太窄了，而且不用極限概念也無法討論無窮級數的收斂問題，所以，拉格朗日的以冪級數為工具的代數方法也未能解決微積分的奠基問題。

這兩個人的失敗都是因為當時代數並沒有從幾何中獨立出來，缺乏完備的實數理論系統作為支撐。

歐拉曾經寫過《無窮分析引論》 這是他的劃時代的代表作，是世界上第一部最系統的分析引論，也是第一部溝通微積分與初等數學的分析學著作。也是這本書，把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術和代數的基礎上。這一步至少為基於實數系統的微積分的根本論證開闢了道路，比如定義正弦不再是線段長，而是純代數定義。

但他堅決認為在求導數的運算中,其結果應該是0/0。他舉例說,如果計算地球的數值,則一顆灰塵、甚至成千上萬顆灰塵的誤差都是可以忽略的。但是在微積分的運算中,「幾何的嚴格性要求連這樣小的誤差也不能有。」

牛頓與歐拉關於導數運算上的跨世紀分歧，即使到如今依然沒有一個滿意的解釋可以解決。歐拉認為導數的運算應該是一個確定的數值，但牛頓他們認為這應該是一個無窮小量，無限趨近0。

直到 1821 年，卓越的法國數學家A.L.柯西出版了著作《分析教程》中認識到函數不一定要有解析表達式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變量，無窮小量是以零為極限的變量，並且定義了導數和積分。成功的用現代極限理論來說明導數的本質。他將導數明確定義如下：

「現代分析學之父」魏爾斯特拉斯又用了「ε-δ」語言一舉克服了「lim困難」，他將極限定義如下：設函數f（x）在x0的某個「去心領域」內有定義，則任意給定一個ε大於0，存在一個δ大於0，使得當

時，不等式

成立；則稱A是函數f（x）當x趨近於x0時的極限，記成

威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。極限理論的創立使得微積分從此建立在一個嚴密的分析基礎之上。

而這個時候，就只差一個完備的實數理論作為框架來，所以魏爾斯特拉斯等人發起了「分析算術化」運動。魏爾斯特拉斯認為實數是全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理將實數歸結為整數(有理數)。這樣，分析的所有概念便可由整數導出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補。這就是所謂「分析算術化」綱領。

在魏爾斯特拉斯「分析算術化」運動的引領下，戴德金、康託爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實數理論。

1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的「分割」來定義無理數，並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，他將一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個元素小於集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，並將這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割，在這裡面，戴德金從有理數擴展到實數，建立起無理數理論及連續性的純算術的定義。

戴德金分割定理推算過程

康託爾也通過有理數序列理論完成了同一目標，康託爾和戴德金都是將實數定義為有理數的某些類型的「集合」。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康託爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現代數學中都已成為典型的構造方法，被後人不斷推廣發展成為數學理論中的有力工具。

康託爾的有理數序列理論

維爾斯特拉斯發表了有界單調序列理論，有理數基本列是先假定實數的完備性，再根據有理數列的極限來定義有理數無理數。有很多有理數列，他們自己是基本列，但在有理數系內沒有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數時，則稱它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數或者收斂空了時，則稱它為無理基本列。有理基本列定義的是有理數，無理基本列定義的是無理數。

有界單調序列理論求證過程

實數的這三大派理論證明了實數系的完備性。實數的定義及其完備性的確立標誌著由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大致宣告完成。這樣長期以來圍繞著實數概念的邏輯循環得以徹底消除。

完備的實數體系的建立，給數學分析提供了嚴密性，把微積分及其推廣從對兒何概念、運動和直覺了解的完全依賴中解放出來。它既不依賴幾何的含義,又避免用極限來定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎,微積分中關於極限的基本定理的推導，才不會有理論上的循環。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來,免去任何與感性認識聯繫的性質。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數的概念，並且在割斷數的概念與兒何量觀念的聯繫之後才能完全達到。

完備的實數體系

可以說，隨著極限理論的提出和實數理論的完備，微積分其自身得到了不斷的系統化，完整化，成為了18世紀數學世界的「霸主」。

而微積分的完備，也促進了物理學的大發展大繁榮，物理問題的表達一般都是用微分方程的形式。也迎來了科學的大發展大繁榮時代，一直持續了整整 200 多年，直到 20 世紀上個月，這 200 多年裡，湧現了無數著名的數學家、科學家。他們把微積分應用於天文學、力學、光學、熱學等各個領域，並獲得了豐碩的成果。在數學本身又發展出了多元微分學、多重積分學、微分方程、無窮級數的理論、變分法，大大地擴展了數學研究的範圍。比如最著名的要數最速降線問題。

微積分還推動了工業革命的發展，促進了社會生產力的提高，實現了社會文明的大進步，但是正如前面所說，牛頓和歐拉之間的隔空跨世紀論爭的內容，還是沒有完全解決，由微積分引發的數學漏洞還留有一個小孔等著等著人們將它補上。

希望那個人會是你們！