袁燦倫重建《新量子力學》(十六)含N個檢驗量子的薛丁格方程

作者按

薛丁格方程在量子力學中起到舉足輕重的作用，而在《新量子力學》中最關鍵的是駐波條件，通常問題用駐波條件就可以求解了，並且簡單到只需要幾步代數式，但如果沒有一個方程，大家總是感覺到心裡不踏實，現在就建立新量子力學的薛丁格方程。

英文版《The field meaning of wave function》已發布於《Nature》預印本網站，見文後連結。

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十六、含N個檢驗量子的薛丁格方程

物理學的運動規律一般都由方程描述，量子力學的五個基本假定中第二個基本假定是：微觀體系的運動狀態波函數隨時間變化的規律遵從薛丁格方程：

體系含有n個檢驗量子時的總能量nhω和總動量nhk。將其代入平面波波函數

分別求出∂Φ/∂t和▽²Φ，(Φ為未歸一化的波函數，就是能量作用場，Ψ為歸一化後的波函數)，比較得：

再將勢能函數U(r)(不一定是勢能)乘上Φ後加在上式右邊，即得含n個檢驗量子的薛丁格方程：

由此可見，體系放入n個檢驗量子(體系中原有的n個波包就是檢驗量子)時，只須作變換h→nh即可。由概率知識可知，放入的檢驗量子數越多，所得結果越精確。當n→∞時每個檢驗量子都具有一切確定的量，也不再具有統計的意義。體系內的質量 m=nhω/c² 很大，即已過渡到宏觀。能量和位置是分立的，實質上是把物質當成質點時檢驗量子的可數性引起的。

一般情況下，廣義場不均勻時應該用量子化通則(9)式，須作變換h→(n-1/2)h，則含n個檢驗量子的薛丁格方程應為：

另外，波函數Φ(r,t)都可以從體系所滿足的運動方程中解出，並根據能量密度表達式方便地選取。故要使量子力學的意義明朗化，除了滿足薛丁格方程外，還應滿足經典運動方程：

這樣得出的解實質上是薛丁格方程的通解在滿足經典運動方程時的特解。另外還遵循能量最低原理等。

從以上三個應用實例的求解中可以看出，薛丁格方程的作用被削弱了，況且在薛丁格得出此方程的過程來看，也是「拼湊」出來的，其中的虛數「i」更讓人煩惱不已。

廣義場在波動，形成駐波，廣義場就是波函數。那麼已有一個弦振動方程(三維情況)：

一 維情況：

弦振動方程與麥克斯韋電磁波波動方程比較可看出，兩種方程完全一樣，麥克斯韋電磁波波動方程也是弦振動方程。因為弦振動方程產生的是駐波，那麼麥克斯韋電磁波波動方程產生的也是駐波，即光波是一種駐波。

將平面波波函數

代入弦振動方程，分別求出∂Φ/∂t和▽²Φ，比較可知，它也是弦振動方程(三維駐波)的解。如果用此方程來代替薛丁格方程，可能會更合理些。

含n個檢驗量子時的薛丁格方程看起來複雜了，但實際上解求起來更加簡單。上面典型應用實例中的一維線性諧振子就是用這個方程來求解出其它幾個參量的。

（未完，待續）

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延伸閱讀：

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