薛丁格方程

在量子力學裡，薛丁格方程（Schrödinger equation）是描述物理系統的量子態怎樣隨時間演化的偏微分方程，為量子力學的基礎方程之一，其以發表者奧地利物理學家埃爾溫·薛丁格而命名。關於量子態與薛丁格方程的概念涵蓋於基礎量子力學假說裡，無法從其它任何原理推導而出。

在經典力學裡，人們使用牛頓第二定律描述物體運動。而在量子力學裡，類似的運動方程為薛丁格方程。薛丁格方程的解完備地描述物理系統裡，微觀尺寸粒子的量子行為；這包括分子系統、原子系統、亞原子系統；另外，薛丁格方程的解還可完備地描述宏觀系統，可能乃至整個宇宙。

薛丁格方程可以分為「含時薛丁格方程」與「不含時薛丁格方程」兩種。含時薛丁格方程與時間有關，描述量子系統的波函數怎樣隨著時間而演化。不含時薛丁格方程則與時間無關，描述了定態量子系統的物理性質；該方程的解就是定態量子系統的波函數。量子事件發生的概率可以用波函數來計算，其概率幅的絕對值平方就是量子事件發生的概率密度。

薛丁格方程所屬的波動力學可以數學變換為維爾納·海森堡的矩陣力學，或理察·費曼的路徑積分表述。薛丁格方程是個非相對論性方程，不適用於相對論性理論；對於相對論性微觀系統，必須改使用狄拉克方程或克萊因-戈爾登方程等。

方程的數學形式含時薛丁格方程

含時薛丁格方程描述物理系統隨時間演化，其最廣義形式為：

術語「薛丁格方程」可以指廣義形式的薛丁格方程，也可指具體形式的薛丁格方程。廣義形式的薛丁格方程名如其實，可以應用於廣泛量子力學領域，表達從狄拉克方程到量子場論的各種方程，只要將哈密頓算符的各種複雜表達式代入即可。通常，具體形式的薛丁格方程所描述的系統是實際系統的簡化近似模型，這是為了要避開不必要的複雜數學運算。對於大多數案例，所得到的結果相當準確；但是對於相對論性案例，結果則並不令人滿意。對於更詳盡的細節，請參閱 相對論性量子力學。

應用薛丁格方程時，必須先給出哈密頓算符的表達式，因此會涉及到計算系統的動能與勢能；將算符表達式代入薛丁格方程，再將所得偏微分方程加以解析，即可找到波函數。關於系統的量子態的信息，全部都會包含在波函數中。

不含時薛丁格方程

不含時薛丁格方程與時間無關，它預言波函數可以形成駐波，稱為定態（在原子物理學裡，又稱為軌道，例如，原子軌道或分子軌道），假若能夠計算出這些定態，分析出其量子行為，則解析含時薛丁格方程會變得更為簡易。不含時薛丁格方程為描述定態的方程。只有當哈密頓量不與時間顯性相關，才會使用這方程。廣義形式的不含時薛丁格方程為

這方程的詮釋為，假若將哈密頓算符作用于波函數ψ時，得到的結果與同樣波函數ψ成正比，則波函數ψ處於定態，比例常數E E是量子態ψ的能量。這方程為又稱為「定態薛丁格方程」，引用線性代數術語，這方程為「能量本徵薛丁格方程」，E 是「能量本徵值」，或「本徵能量」。

歷史背景與發展

1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設，因此發現將能量 E E與頻率 ν v關聯在一起的普朗克關係式E=hv

1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對於光電效應的研究又給予這關係式嶄新的詮釋：頻率為 νv 的光子擁有的能量為 hνhv ；其中，hh 因子是普朗克常數。這一點子成為後來波粒二象性概念的早期路標之一。由於在狹義相對論裡，能量與動量的關聯方式類似頻率與波數的關聯方式，因此可以揣測，光子的動量p與波長λ成反比，與波數kk成正比，以方程來表示這關係式，

路易·德布羅意認為，不單光子遵守這關係式，所有粒子都遵守這關係式。他於1924年進一步提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性，這性質稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質。電子是一種物質波，稱為「電子波」。電子的能量與動量分別決定了伴隨它的物質波所具有的頻率與波數。在原子裡，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉頻率只能呈某些離散數值。這些量子化軌道對應於離散能級。從這些點子，德布羅意複製出玻爾模型的能級。

在1925年，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一場物理學術研討會。有一次，主辦者彼得·德拜邀請薛丁格講述關於德布羅意的波粒二象性博士論文。那段時期，薛丁格正在研究氣體理論，他從閱讀愛因斯坦關於玻色-愛因斯坦統計的論述中，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解。在研討會裡，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味。德拜指出，既然粒子具有波動性，應該有一種能夠正確描述這種量子性質的波動方程。他的意見給予薛丁格極大的啟發與鼓舞，他開始尋找這波動方程。檢試此方程最簡單與基本的方法就是，用此方程來描述氫原子內部束縛電子的物理行為，而必能複製出玻爾模型的理論結果，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細結構。

很快，薛丁格就通過德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程，他將這方程應用於氫原子，計算出束縛電子的波函數。但很可惜。因為薛丁格沒有將電子的自旋納入考量，所以從這方程推導出的精細結構公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改，除去相對論性部分，並用剩下的非相對論性方程來計算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當困難，在其好朋友數學家赫爾曼·外爾鼎力相助下，他複製出了與玻爾模型完全相同的答案。因此，他決定暫且不發表相對論性部分，只把非相對論性波動方程與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文。1926年，他正式發表了這論文。

這篇論文迅速在量子學術界引起震撼。普朗克表示「他已閱讀完畢整篇論文，就像被一個迷語困惑多時，渴慕知道答案的孩童，現在終於聽到了解答」。愛因斯坦稱讚，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才。愛因斯坦覺得，薛丁格已做出決定性貢獻。由於薛丁格所創建的波動力學涉及到眾所熟悉的波動概念與數學，而不是矩陣力學中既抽象又陌生的矩陣代數，量子學者都很樂意地開始學習與應用波動力學。自旋的發現者喬治·烏倫貝克驚嘆，「薛丁格方程給我們帶來極大的解救！」沃爾夫岡·泡利認為，這論文應可算是近期最重要的著作。

薛丁格給出的薛丁格方程能夠正確地描述波函數的量子行為。在那時，物理學者尚不清楚如何詮釋波函數，薛丁格試圖以電荷密度來詮釋波函數的絕對值平方，但並不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地詮釋了波函數的物理意義。但是薛丁格與愛因斯坦觀點相同，都不贊同這種統計或概率方法，以及它所伴隨的非連續性波函數坍縮。愛因斯坦主張，量子力學是個決定性理論的統計近似。在薛丁格有生的最後一年，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋。

物理意義

薛丁格方程和它的解在物理學造成突破性的思維發展。薛丁格方程是一種嶄新的方程，關於它的解析引導出很多不同尋常、料想未及的後果。

量子測量

根據哥本哈根詮釋，粒子的運動遵守薛丁格方程，直到因被測量而發生波函數坍縮為止。假設對於某系統的某可觀察量做測量，而描述這系統的波函數是由這可觀察量的幾個本徵函數量子疊加而成，每次對於這可觀察量做測量只能得到本徵函數的本徵值，不能得到任何其它數值。當波函數坍縮現象發生時，由於粒子與測量儀器彼此相互作用，系統的波函數會按照概率分布隨機的約化為原本幾個本徵函數中的單獨一個本徵函數。這是量子測量的關鍵要素，將波函數與可觀察量，如位置或動量，關聯在一起。

量子系統隨著時間流易而演化的兩個過程為薛丁格方程預測的演化、波函數坍縮。有些教科書會將這兩種過程分別當作量子力學的假設，然後從假設推導出量子力學的其他理論結果。很多物理學者認為，從薛丁格方程無法推導出波函數坍縮。這兩種過程具有迥然不同的性質。薛丁格方程預測的演化具有決定性，能夠從最初波函數預測未來的最終波函數；它還具有逆反性，能夠將時間逆反地從最終態演化回最初態。波函數坍縮具有非決定性，從最初態按照概率分布隨機地約化至最終態，無法預測這最終態到底是什麼；它還具有非逆反性，測量動作將量子態的信息發掘出來，這是一種無法時間逆反的程序，獲得的額外信息無法再還原。

隨著時間流易，雙縫實驗展示出電子累積於探測屏。

量子隧穿效應

在經典力學裡，當一個圓球慢慢地滾上一座高山，假若它沒有足夠能量翻過山頂到另一邊，它會停止滾動，往反方向滾回。但是，薛丁格方程預測，這圓球跑到另一邊的概率大於零，儘管它的能量不足以爬到山頂，這種波動性行為稱為量子隧穿效應，無法用微粒說來解釋這種效應。特別是對於微觀粒子與適當形狀的勢壘，做實驗很容易就可觀察到這種效應。阿爾法衰變 就是因為阿爾法粒子擺脫了本來不可能擺脫的強作用力束縛而從原子核逃逸出來的現象。

在勢壘左邊的粒子沒有足夠能量越過勢壘。但是，它可以量子隧穿到勢壘右邊。

粒子的波動性

非相對論性薛丁格方程是波動方程。遵守這方程進行運動的粒子因此會顯示出波動性行為。雙縫實驗是一個範例，它能夠展示出粒子通常不會進行的波動行為。從兩條狹縫傳播出來的物質波在某些位置會相長幹涉，在某些位置又會相消幹涉，因此形成複雜的幹涉圖樣。直覺而言，假設，從發射源到探測屏，每次只會出現單獨一個粒子，即每次只有一個粒子獨自通過兩條狹縫，按照微粒說，累積多次發射不應該形成幹涉圖樣。但是，做實驗可以實際觀察到這幹涉圖樣，如同右圖從真正實驗獲得的圖樣所展示。這意味著，雖然每次只有一個粒子通過狹縫，這粒子可以同時通過兩條狹縫，自己與自己互相干涉。光子、電子、中子、原子、甚至分子，都可以表現出這種奇異的量子行為。