海森堡為了研究氫原子光譜就提出了矩陣力學的概念，發展成一個學科了，但是要通過舉證力學來算出氫原子光譜，是需要好的數學基礎的，所以當時很多物理學家很痛苦，他們必須要惡補數學基礎才能去研究這個氫原子光譜，那有沒有一個簡單的推導公式呢？答案就是我們這次要說的——薛丁格波動函數（波函數）和薛丁格方程說到薛丁格的波函數和方程就必須先說一個人，正是這個人——德布羅意的出現才出現了薛丁格波函數和薛丁格方程。德布羅意來自在法國那是赫赫有名布羅意家族，僅次於皇室的貴族，這個家族歷代都是是公爵，家族中第1代公爵是法國路易14時代當時的元帥。我們今天要說是第7代公爵叫做路易德布羅意，他爺爺曾經是法國的第37任總理，他爸爸是法國的國務部長，但是到了他這一代，他就喜歡上搞物理了。1924年德布羅意看到了愛因斯坦解釋光電效應的那篇文章，當時正愁著博士論文沒法寫了，他就想既然光既是波又是粒子，那我為什麼不能把一個粒子看成波呢？於是他就寫了一共就不到一頁紙論文交給老師郎之萬了，郎之萬一看就懵了，不到一頁紙的論文肯定過不了學術委員會的5個教授那一關的。郎之萬很聰明，他把這一頁紙的論文寄給了愛因斯坦，並且附上一封信，信上寫著這個論文作者爺爺是法國總理，爸爸是法務部部長等等之類的，愛因斯坦就回信寫說這個創意好，很有研究意義等等之類的話。等到畢業論文那天，郎之萬就把這一頁論文交給評審的教授看，並且附上愛因斯坦的信，教授想著愛因斯坦都說好，自己要是不給過，那就變成自己看不懂這一篇一頁紙的論文了，結果德布羅意就順利畢業了。
在1925年德拜的學術交流會上，德拜就拿了德布羅意的這個物質波的這篇論文給了薛丁格。1925年的時候，薛哥已經是38歲了，當時他是在蘇黎世大學當物理學高級講師。1926年，薛丁格給出了波動方程，就是大家熟知的薛丁格方程。波動力學是建立起來了，物理學家就開始為之歡呼，因為波動力學用的是微分方程當時大部分物理學家都會解，而且可以通過推導出波爾的氫原子能級公式。
海森堡辛辛苦苦建立的矩陣力學，還不到一年，薛丁格就提出了這個波動方程，既簡單又合理，這個海森堡就不開森了，就和這個薛丁格這事吵得不可開交。海森堡提出微觀世界都是不連續的，而波是連續的，薛丁格就這樣解釋，函數和波確實是連續的，但是當波的振動模式發生改變的時候就符合量子化。但是破菜不過是一個虛擬的函數，物理意義都沒有，那有怎麼說的過去呢？薛丁格自己推導出的函數和方程，自己不能解釋它的物理意義，而且更諷刺的是，薛丁格最後還不能理解自己的函數和方程。
給出波函數的物理意義的是量子力學的代表派波爾，波函數的物理意義就是微觀世界中微觀粒子在某個區域內的概率。波函數模的平方對應於微觀粒子在某處出現的概率密度即是說，微觀粒子在各處出現的概率密度才具有明顯的物理意義。這個在當時是很難用經典物理學去理解的，在經典物理學中我們描述一個物理是可以準確的描述出它的位置和狀態的，但是在微觀世界卻是不可確定的，只能是概率出現，簡直毀了當時物理學家的三觀。由於微觀粒子具有波粒二象性，粒子的位置和動量不能同時有確定值因而質點狀態的經典描述方式不適用於對微觀粒子狀態的描述。把波函數的絕對值二次方解釋為與粒子在單位體積內出現的機率成比例是M.玻恩在E.薛丁格建立波動力學後提出的，被稱為是波函數的統計詮釋。波函數所表示的波也常被稱為機率波。
最能體現概率波的實驗就是雙縫幹涉試驗了（請參看我之前發布的文章），到底為什麼電子在我們觀察和不觀察時會體現出不同的性質呢？觀察就是粒子，不觀察就波，原來是因為波函數坍塌了，也就是電子的狀態因為我們的觀察而被我們改變了，觀察到的電子已經不是原來的電子了，它的狀態已經被改變了，那它自然就不再是你不觀察時的樣子了。