薛丁格方程的物理意義（全局詮釋之五）

量子論建立之初，也就是普朗克提出能量子概念的時候（1900），完全沒有描述量子的數學公式。但是量子化假定解決了黑體輻射的紫外災難問題。玻爾的原子模型仍然是唯象地假定了能級分立（1913）。德布羅意提出物質波理論之後（1923），才有了海森堡、波恩等的矩陣力學和薛丁格的波動力學（1925）。

薛丁格方程的來源，按照費曼的說法，「是薛丁格瞎想出來的」（It is not possible to derive it from anything you know. It came out of the mind of Schrödinger.）

有一個流傳廣泛，但是找不到來源的說法是，假定波函數為平面波，分別對時間和空間部分微分得到能量和動量，然後把能量變換為動能加勢能，從而得到薛丁格方程。讀者可以自行查找推導。

為了方便，我們寫下一維定態薛丁格方程：

公式比較麻煩，全部變成圖片，大小也沒法改

擴散方程的物理圖像是很清楚的，比如熱擴散，一個介質中一旦出現熱源，熱就會擴散到整個介質。

但我們知道，一般定態薛丁格方程的解是一個固定的機率分布，沒有擴散。而含時薛丁格方程很少用到，即使用到，我們一般也用絕熱近似，也就是當成定態薛丁格方程來解。我們可以把定態薛丁格方程當成含時薛丁格方程的特殊形式。

而虛擴散係數意味著什麼呢？在一個二次微分方程中出現虛的係數，一般意味著波動。

綜合以上兩點，我們可以認為，薛丁格方程是波的擴散方程。擴散速度是多少呢？考慮到虛的擴散係數已經被我們解釋過了，其值就沒有意義了。最後解出來的波函數是什麼呢？由於它的分布不變，可以認為它是波經過充分擴散後達到的最後狀態。薛丁格方程的非相對論性，意味著作用傳播速度為無窮大，即充分擴散不需要時間。

所以，可以認為，薛丁格方程的解，是波經過充分擴散後達到的最後穩定狀態。初始的波是什麼呢？可以認為是所有頻率的波。

我們知道，波的擴散，或者說傳播，有個性質，就是會發生相干。相干有利會加強，不利會相消。如果經過充分擴散，就只會剩下滿足相干有利條件的波。

所以，薛丁格方程的解，就是該體系下，所有相干有利波的集合，也就是各本徵態，或者說，優勢振動模式。它們一定反應了該體系的全部空間性質，比如需要滿足什麼邊界條件，勢場的性質，等。

注意，我們在猜測薛丁格方程的物理意義，以上論述是一種推測，不是證明。

但是，即使我們完全放棄上面的論述，薛丁格方程的解是反應了全部空間和勢場性質——即全局性質——的本徵波動解的結論，仍然有效。波動性由薛丁格波函數定義提供，也可以說，來自於物質波定義。以上推測和類比，只是為了更直觀地理解薛丁格方程的物理意義。

由於矩陣力學和波動力學的等效性，因此也可以推斷，所有的量子態都是全局態，都是非相對論的，都有無窮快的作用傳播速度。但這些只是理論隱含的數學性質，不是看作實際的物理性質。

我們還要注意到，以上論述都是指是理想狀態下。所有的解都分布在全空間（除非無限深勢阱，而實際不存在無限深勢阱）。

綜上所述，我們可以歸納為：薛丁格方程的解，是一個波動體系（物質波）的，理想的，全局（全域）的，非相對論的，本徵解集合。

由於薛丁格方程是描述量子的方程，所以以上性質也是該理論框架下，量子的性質。也就是說，量子力學描述的每一個量子，都是物質波的，理想的，全局的，非相對論的，本徵態集合。

作為參考，我們可以比較一下一般情況下含時微分方程的解法。一般的含時微分方程，我們一般需要一個初函數，對應的邊界條件，解出來的是一個隨時間變化的方程集。一般情況下，可以解析解的實際系統幾乎沒有，所以我們都是用數值方法解微分方程，比如一般的流體，等離子體，電磁場，等等。我們同樣需要系統的初態，邊界條件，時間前向步進，計算出系統隨時間演化的各種性質。但是我們幾乎不用數值方法解薛丁格方程。因為物理上，要解的問題就不是初值問題。而微分方程的本徵值問題，數值方法很不可靠。實際上，量子力學的本徵值問題一般用矩陣方法。

原則上來說，計算實際的量子體系，薛丁格方程解任何一個粒子或者多個粒子的行為，都要求全宇宙的狀態已知，因為全宇宙狀態都是勢場的一部分。如果把粒子的全同性考慮進來，一個非相對論，多體，的真實體系是無法計算的。

由於上一節討論過的，真實物理體系的複雜性，因此也可以說，薛丁格方程的解是一個非相對論理想極限。