袁燦倫重建《新量子力學》(十八)新量子力學解讀(2)

作者按

為了讓讀者更容易理解《新量子力學》，作者對它作詳細解讀。作者預料到的或讀者反饋的問題，在這裡可以找到答案。

本理論屬於後現代科學新理論，主要面向至少具有本科物理專業以上知識的讀者群體。考慮到今日頭條的讀者文化知識水平差異很大，都很熱心於現代科學理論，另外，波和光的知識又是新量子力學的主要基礎知識，還是作者將要發布的關於《相對論》系列文章的主要基礎知識，為此，作者在本章講一下波動方程數學的知識，和麥克斯韋電磁波動方程的知識，讀者才能夠讀懂新量子力學和後續文章。

英文版《The field meaning of wave function》已發布於《Nature》預印本網站，見文後連結。

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十八、新量子力學解讀(2)

5、波動方程(高等數學)

波動方程是一種偏微分方程，主要描述自然界的各種波動現象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波、無線電波(光波)和水波。波動方程抽象自聲學、物理光學、電磁學、電動力學、流體力學等領域。

一維波動方程可用如下的方式推導：一列質量為m的小質點，相鄰質點間用長度b的彈簧連接。彈簧的彈性係數為k，其中Φ(x)表示位於x的質點偏離平衡位置的距離。由牛頓第二定律計算的質點慣性力，胡克定律計算的彈簧作用力，施加在位於x+b處的質點m上的力為：

彈簧作用力改變運動狀態，兩式相等，得到方程，簡化質點和彈簧為一根張緊的弦，則得到一維波動方程，並推廣到三維情況得到三維波動方程：

係數 v 通常是一個固定常數，代表波的傳播速率，在弦振動問題中，波速與振動和波均無關，而與弦本身的密度和軸向張力有關。方程的解是兩部分的組合，F表示向右的行進波，G表示向左的行進波。波動方程是一個線性微分方程，解出的兩列波振幅可以疊加。

6、駐波方程

兩端固定張緊的彈性弦，兩端固定點為邊界點，以此為邊界條件，則其方程的解為三角函數，即正(餘)弦波。

撥動弦，給弦一個策動力，弦振動，產生一列正向傳播的行進波，此波傳播到固定端點時，另一列同頻的波反向傳播，兩列同頻行進波疊加，就得到了駐波方程：

駐波的特點是各點都在作簡諧振動，頻率相同，各點振幅作周期性變化，與時間無關。振幅為0處n.λ/2稱為波節，振幅最大為2A處(n-½).λ/2稱為波腹。

需要滿足駐波條件才能形成駐波，長為L的弦，駐波條件是，1、兩端固定：L=n.λ/2；2、一端固定一端自由：L=(n-½).λ/2；3、環形：L=2πr=2.n.λ/2。

圖29 駐波的形成

圖30 駐波的模式

7、麥克斯韋電磁波動方程

麥克斯韋高度總結了各個電磁學定律，並加上位移電流假設，得出麥克斯韋方程組：

在無場區，無電流J=0，無電荷ρ=0，則方程組中，第一個方程為0，第四個方程只有第二項。

可看出，電磁波動方程同弦振動方程完全相同，其中波速v正是光速c。

由此看來，電磁波也是一種駐波，從波源激發出的電磁波，像一端固定一端自由的駐波，在自由空間，它仍像有兩個固定端點的駐波，這與它並不是介質的振動，而電場和磁場交替激發而產生的特點有關。(這是對光的新的預言)

圖31 電磁波也是一種駐波

（未完，待續）

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延伸閱讀：

本文英文版《The field meaning of wave function》見下面的《Nature》預印本網站連結：