袁燦倫重建《新量子力學》(四)波函數的場意義

作者按

作者於1991年學習《量子力學》時起思考並動筆，於1992年寫成了《新量子力學》，並應邀參加了中國科學院主辦的紀念德布羅意誕辰一百周年暨量子物理學史學術研討會。作者決定，將其分期發布於今日頭條。

英文版《The field meaning of wave function》已發布於《Nature》預印本網站，見文後連結。

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四、波函數的場意義

在這個物理模型中，廣義場和波函數是什麼關係？波函數的機率含義是什麼？波函數究竟是什麼？

一個振子在體系中的廣義場形成 n 個波包的波，則其能量和動量分別為 nhω 和 nhk 。就是說，每個波包相當於一個能量和動量分別為 hω 和 hk 的準粒子，稱為一個能量子，其範圍為一個波包的體積 V 。

它是 V 內體系廣義場產生的能量。則體元 dτ 內的總能量和體系總能量分別為：

將此式積分，並將兩式相比得：

反過來推導也能得到此式，從波函數的統計(機率)解釋也可以得這個關係式。將 n 個能量和動量為 hω 和 hk 的檢驗粒子(一個能量子)，放入體系中用以檢驗粒子在體系中的機率分布，則由概率知識可知， n 個粒子將按波函數確定的機率分布。即在 t 時刻 r 處單位體積元 dτ 內分配的粒子數為：

又每個檢驗粒子能量為 hω ，則 dτ 內能量為：

將此式積分並整理，就可以得到：

其中 1/n·dn/dt 為 t 時刻 r 處單位體積內振子出現的機率。這正是波函數的機率解釋中，波函數平方 |Ψ(r,t)|² 的意義。Ψ(r,t) 是體系的歸一化後的波函數。由這個重要關係式(15)可以得出如下結論：

|Ψ(r,t)|² 表示在 t 時刻 r 處單位體積內體系所具有的能量與體系總能量之比 w / W ；廣義場 Φ(r,t) 就是體系的未歸一化的波函數。

設 Φ (或 φ )為未歸一化的波函數，則有

其中

稱為歸一化常數，Ψ 為歸一化後的波函數。顯然有：

由上述的重要的關係式可見，波函數的統計意義是把能量量子當成一個粒子質點來處理的，其實它是有體積有大小的，很自然就看得出來，它的體積為一個波包的體積。

在微觀世界裡，物質和空間的尺度本來就已經很小了，運動速度又很快，如果仍用宏觀的方法處理它，忽略了它的體積大小而當作質點，那樣每個質點在波包範圍內的位置就是不確定的，不確定程度就是測不準關係的範圍。

另外，當把體系總能量為 nhω 的振子當成一個質點時，其所在的位置在 n 個波包內，具體在某個波包內就只能是機率的意義了。如果把它當成彌散於整個空間的廣義場與其相應的廣義量產生的能量，則其體積就是體系廣義場分布的空間，其質量由質能方程得出。因此，可把物質當作能量或廣義場。這樣，物質密度和能量密度等概念才能有實際的意義。若把物質當成質點，這些概念就無意義了，取而代之的只能是機率密度的概念。現在我們看到了，波函數就是場(廣義場)，波函數的平方和廣義量之積的一半就是能量密度！

（未完，待續）

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延伸閱讀：

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