數學已證明一種特殊的時空具有不穩定性：微小的擾動就會產生黑洞

四年前，還是普林斯頓大學研究生的喬治斯•莫斯基迪斯接手了一個可能不會成功的問題。他的導師要求他用數學方法證明時空的某一特定結構是不穩定的——換句話說，就是證明任何微小變化最終都會導致時空本身的崩潰。

他的導師、數學家米哈裡斯·達菲莫斯知道這項任務有多難。達菲莫斯說：「你可能會花很多時間探索而一無所獲。」達菲莫斯在2006年提出了不穩定性猜想。「我不認為它會被證明。但他還是鼓勵現在加州大學伯克利分校做博士後的莫西迪斯證明這一猜想。莫斯基迪斯已經做了足夠多的工作來獲得博士學位，所以為什麼不嘗試做一些大事呢？

達菲莫斯對莫斯基迪斯的信任是正確的。從2017年開始一直持續到今天的一系列進展中，莫斯基迪斯已經證明了一個被稱為反德西特空間的愛因斯坦時空的規範構型是不穩定的。向太空中扔一點點物質，最終就會形成一個黑洞。

史丹福大學的數學家盧克聲稱莫斯基迪斯的工作是「驚人的」。他發現的是一種相當普遍的不穩定機制」——這一機制可以應用於與反德西特空間無關的其他場景，即物質或能量被禁錮在一個沒有出口的物理系統中。達菲莫斯稱他前學生的研究成果「壯觀」，「當然是我近幾年在廣義相對論數學領域見到的最具獨創性的東西。」

儘管我們並不是生活在一個反德西特的宇宙中，這項工作也對我們理解從湍流到引力理論和量子力學之間的神秘聯繫的一切事物有影響。

引力膨脹

不穩定性猜想（以及它產生的整個學派）可以追溯到愛因斯坦的廣義相對論方程，它精確地說明了質量和能量是如何影響時空的曲率的。由於真空本身的能量密度（用一個「宇宙常數」來描述），在一個完全不存在物質的真空中，時空仍然可以彎曲，引力仍然可以存在。事實證明，空的空間並不是真正的真空（量子漲落）。

愛因斯坦真空方程的三個最簡單的解是對稱的——時空的曲率在任何地方都是一樣的。在宇宙常數為零的閔可夫斯基時空中，宇宙是完全平坦的。在德西特時空中，宇宙常數為正值，宇宙的形狀就像一個球體。當宇宙常數是負的，就會得到反德西特時空，它是一個鞍型。在宇宙學的早期，科學家們想知道這三種時空中的哪一種可以描述我們的宇宙。

另一方面，數學家們則傾向於懷疑這些時空是否真的並且是穩定的。也就是說，如果你以任何方式擾動一個真空時空（比如，向系統中注入一些物質或發送一些引力波），它最終會穩定下來，進入接近原始狀態的狀態嗎？還是會演變成完全不同的東西？這就好比在宇宙中把一塊石頭扔進一個池塘，海浪會逐漸變小，還是會形成海嘯？

• 德西特時空模型

• 閔可夫斯基時空模型

1986年，一位數學家證明了德西特時空是穩定的。1993年，一對數學家對閔可夫斯基時空做了同樣的研究。反德西特空間的穩定性問題已經持續了很長時間。普遍的共識是，反德西特空間與其他兩種構型不同，是不穩定的，這意味著數學家將不得不採取一種全新的方法。達菲莫斯說：「已經開發了很多數學工具來解決穩定性問題。」「但不穩定是一個完全不同的領域——尤其是這種類型的不穩定，」它本質上是非線性的，導致一個固有的複雜情況，與相應的棘手的計算。

研究人員懷疑反德西特時空可能是不穩定的，因為他們相信它的邊界會反射，從而導致它「像一面鏡子，所以任何撞擊它的波都會回來，」達菲莫斯解釋說。

「從物理角度來看，邊界處的反射是有意義的，」新澤西州普林斯頓高等研究院的物理學家胡安·馬爾達塞納說。這部分是由於反德西特空間的彎曲，但還有一個更簡單的解釋（前提是堅持能量守恆的原則）。

• 加州大學伯克利分校的數學家喬治斯·莫西迪斯在愛因斯坦方程中找到了棘手的非線性效應。

如果這個邊界實際上是反射的，那麼就沒有什麼能從反德西特時空中洩漏出去。因此，任何進入系統的物質或能量都有可能集中起來，可能集中到黑洞形成的程度。問題是，這種情況真的會發生嗎？如果真的發生了，是什麼機制導致物質和能量聚集到這樣的程度而不是保持分散？

莫斯基迪斯想像站在反德西特時空的中間，就像站在一個巨大的球裡面，它的邊緣或邊界是無限的。如果你從那裡發送一個光信號，它會在有限的時間內到達邊界。由於眾所周知的相對論效應，這種旅行才成為可能：儘管到邊界的空間距離確實是無限的，但對於以光速或接近光速運動的波或物體來說，時間會變慢。因此，一個觀察者站在反德西特時空的中間會看到一束光線在有限的時間內到達邊界。

莫斯基迪斯沒有使用光線，而是將廣義相對論模型中常用的一種物質——所謂的愛因斯坦-弗拉索夫粒子——放入反德西特空間。這些粒子在時空中產生物質的同心圓波，類似於出現在池塘中的水波。

當物質突然進入這個時空時，會產生許多同心波，前兩個將是最大的。因為它們包含了最多的物質和能量。第一個波（稱為波1）會向外膨脹，直到觸及邊界，反彈回來，並在向中心收縮。第二個波將接踵而至。

當波1反彈離開邊界並開始向中心收縮時，它會碰到仍在膨脹的波2。莫西迪斯確定，愛因斯坦方程的一個結果是，在這樣的相互作用中，膨脹的波（這裡是波2）總是將能量傳遞給收縮的波（波1）。

在波1到達中心後，它將再次開始膨脹，與現在正在收縮的波2相遇。這一次，波1將給予波2能量。這個循環可以重複很多很多次。

莫奇迪斯還發現了另一件事：在靠近中心的地方，波佔據的空間更少，它們攜帶的能量更集中。正因為如此，波在中心附近的相互作用中交換的能量比在邊界附近的相互作用中要多。最終結果是，波1在中心給予波2的能量比波2在邊界給予波1的能量多。

經過無數次的迭代，波2變得越來越大。因此，波2的能量密度繼續增加。在某一時刻，當波2向中心收縮時，它的能量會變得如此集中以至於形成一個黑洞。

這是不穩定性的證據：莫斯基迪斯證明，當他在一個反德西特時空中加入哪怕是極少量的物質，一個黑洞就會不可阻擋地形成。然而，根據定義，反德西特時空到處都有均勻的曲率，這意味著它不能容納像黑洞這樣扭曲空間的物體。莫斯基迪斯說：「如果你擾亂反德西特時空並等待一段足夠長的時間，你就會得到一個不同的幾何圖形——一個包含黑洞的幾何圖形——它就不再是反德西特時空了。這就是我們所說的不穩定。」

莫斯基迪斯最近證明了另一種反德西特不穩定性——一個所謂的無質量標量場——在幾次學術演講中展示了這一尚未發表的工作。「因為標量場產生的波是引力波的代理，」達菲莫斯說，這讓莫斯基迪斯離最終目標又近了一步——證明反德西特空間在真空中的不穩定性（在真正的真空中，時空在沒有引入任何物質的情況下受重力擾動）。

反德西特空間的擾動

反德西特時空的不穩定性對我們如何理解我們自己的宇宙有著重大的影響。首先，由於反德西特時空是不穩定的，它是「你在自然界看不到的東西，」莫斯基迪斯說。但是「即使反德西特時空不是真實的，」他說，「它仍然可以引導我們發現和研究真實的現象。」

例如，當能量從大尺度集中到小尺度時，湍流就會出現——莫斯基迪斯指出，當反德西特時空受到擾動時，就會出現這種情況。但湍流是一種普遍存在的現象，它出現在各種流體系統中。反德西特時空是一個「乾淨」且相對簡單的系統，這就是為什麼他認為它是研究湍流的「一個良好的理論試驗臺」。在反德西特時空中，湍流是由重力引起的，但莫斯基迪斯相信他正在開發的數學工具也可以幫助分析流體力學中出現的湍流。

反德西特空間在所謂的AdS/CFT通信中也很突出——這是如何將量子力學與引力結合的關鍵線索。對應表明反德西特空間中的一個引力系統可以等價於一個更少維的非引力量子系統。「我們可以用一個不包含引力的量子力學系統來代替引力理論來描述它（不是我們宇宙中的引力理論），而是反德西特宇宙中的引力理論，」馬爾達西納說。

當把莫斯基迪斯的工作與AdS/CFT的聯繫結合起來時，也可以幫助闡明我們更熟悉的相互作用粒子的領域。例如，莫斯基迪斯利用反德西特時空的小擾動來創造黑洞。這個過程通過對應關係，與量子系統達到平衡的熱化過程相關，這是一個幾乎無處不在的現實世界現象。