還在認為數數很簡單?一不小心,就能從一數到無窮大

你能數到多少？

曾經有這麼個故事，講的是兩個匈牙利貴族玩數數字的遊戲，誰數的數字大誰就贏。

「那你先來吧！」一個貴族說。

於是另一個貴族絞盡腦汁，想了好幾分鐘，最終報出了他能想到的那個最大的數字：「3！」

接下來輪到第一個人費腦筋了，於是他冥思苦想了一刻鐘， 然後無奈地說：「你贏啦！」

很顯然這兩個貴族智商不太高，況且這個故事很可能只是一個調侃罷了，真實發生的概率不大。但這種對話卻真的有可能發生在霍屯督人1之中。如今我們通過一些非洲探險家得知，霍屯督人的字典中不存在比3更大的數字。所以如果你問他們家裡有多少個兒子或是殺死過多少個敵人，如果數字大於3，他會告訴你「很多個」。因此從數數方面來說，霍屯督人連我們幼兒園的小娃娃都不如，畢竟就連小娃娃都能數到10呢！

如今我們潛意識裡大概會覺得，數字想寫多大就能寫多大——哪怕用「分」為單位來表示戰爭經費這種巨額資金，或是以「英寸」為單位來表示天體之間超級遠的距離——畢竟只要簡單地在數字後面不斷地加上零就可以了，只是很可能寫著寫著手就酸了。比如在已觀測的宇宙中，大概有300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000個原子，雖然這個數目非常巨大，但我相信你可以不費吹灰之力寫出比這個數目更大的數字來。

或者你可以用一種更簡短的形式來表示這個數字：3×1074。

在這裡，10右上角這個數字74代表的是後面要跟著寫多少個零，換言之，上面這個數字意味著3後面要連續乘以「10」，一直乘74次。

但是古代人並不知道這種簡化算數的表示方法，實際上這種方法是不到兩千年前一位印度的數學家發明的，只是如今我們已經不知道他具體到底是誰。在他的偉大發明——這當然稱得上是一項偉大的發明，雖然我們很少意識到這一點——面世之前，不同數位上的數字是通過一些不同的特殊符號來分別表示的，例如8 732這個數字，在古埃及會通過這種方式表示：

而在凱撒（Julius Caesar）的事務官手中，這個數字則會被表示為：

MMMMMMMMDCCXXXII

後面的這串字符你一定很熟悉，因為羅馬數字在如今依然派得上用場——比如書籍的章卷、歷史紀年表中的日期等，還會使用羅馬數字。不過由於古代的計數需求很難超出幾千，因此古羅馬人沒有發明比「千」更高的數位符號。所以如果你讓一個古羅馬人寫下「一百萬」這個數字，無論他受過多麼好的算數方面的教育，他都會不知所措。估計他能夠想到的最好方式，就是連續花幾個鐘頭不停地寫，一直寫到下一千個M為止。

古代人心目中，像天空星辰的數目、海裡魚的數目，甚至是沙灘上沙子的數目，這些很大的數字通通都是「不計其數」的，就像對一個霍屯督人來說，「5」就只能表示為「很多」一樣。

為了表示巨大的數字，阿基米德（Archimedes，公元前3世紀那位著名的大科學家）也費了一番腦筋，終於想出了一個新的方法。他在著作《計沙法》中寫道：

「有些人認為，沙子的數量是無窮多的。這裡我提到的沙子，不僅僅是指餘對立古或是西西里島其他地方的沙子，而是指整個地球上所有發現和未發現的沙子。也有人覺得，這個數字並不是無窮大，但要表示比沙子數目更多的數量也是做不到的。很明顯，持這些觀點的人會認為，如果將地球假想成一個大沙堆，在海洋、山洞中都填滿沙子，一直裝到和最高的山峰一樣高，那麼這個大沙堆中沙子的數量是無法表示出來的。但我要告訴大家，不僅填滿地球的沙堆中沙子的數目能表示出來，就算整個宇宙都填滿了沙子，這個數目也照樣能夠表示出來。」

阿基米德所提出的表示大數的方法與現代科學中的方法非常類似。他從當時古希臘算數中最大的數字「萬」開始，發明了一個新的數字「萬萬（億）」作為第二級單位，然後將「億億」作為第三級單位，「億億億」作為第四級單位，以此類推。

對現代人來說，寫個大數字似乎不算什麼，不值得花幾頁紙來專門討論。但是在阿基米德時代，能夠發明一種描述大數的方法是非常了不起的成就，這也是數學向前發展過程中的關鍵一步。

為了計算填滿宇宙的沙子的數目，阿基米德必須知道宇宙有多大。按照當時的觀點，宇宙被水晶球層包裹著。與阿基米德同時代的著名天文學家，來自薩摩斯島的阿里斯塔克斯（Aristarchus）認為，地球到天球面的距離為10 000 000 000 斯塔迪姆，差不多1 000 000 000 英裡。

阿基米德對比了一下宇宙和沙粒的大小，進行了一系列足以把中學生嚇出噩夢的運算後，得出結論：

在阿里斯塔克斯估算的宇宙中填滿沙子，沙子的數目不會超過一千萬個第八級單位。

要注意的是，阿基米德時代估計的宇宙半徑遠遠小於現代的觀測結果。十億英裡不過剛剛超過太陽到土星的距離。後面我們會看到，按如今天文望遠鏡的觀測結果，宇宙邊緣距我們有5 000 000 000 000 000 000 000英裡，要填滿這麼大的宇宙，需要沙子的數量超過10100粒（1後面100個零）。

這個數字顯然比前文提到過的宇宙中的原子總數3×1074都要大，因為真實宇宙並未充滿原子。實際上，計算一下我們會發現，宇宙中平均每立方米僅有一個原子。

當然了，要獲得一個巨大的數字，不必非得把宇宙倒滿沙子，或進行類似活動。實際上，有一些乍看起來很簡單的問題，也會遇到非常大的數字，哪怕最開始你以為其中涉及的數字不過幾千而已。

比如在一個大家耳熟能詳的故事裡，印度舍罕王（Shirham）就吃了大虧。據傳說，舍罕王打算獎賞他的宰相、象棋的發明者西薩·班·達依爾（Sissa Ben Dahir）。這位大臣似乎並不貪心，他跪在國王面前說：「陛下！請在棋盤的第一個格子裡放一粒麥子，第二個格子裡放兩粒，第三個格子裡放四粒，第四個格子裡放八粒，以此類推，每個格子都放前面格子的兩倍，直到把64個格子裝滿就行了。」

「你竟然只要這點獎賞。」國王一邊說，心裡一邊竊喜，畢竟對這樣一件神奇發明的賞賜竟然不需要太破費，「我會按你的要求給你賞賜的。」說完，他命令一個僕人帶了一袋麥子到王座前。

放麥粒的計數工作開始了，按照宰相的要求，第一格放一粒，第二格放兩粒，第三格放四粒……國王吃驚地發現，還沒放到二十格，一麻袋麥子竟然已經空了。於是一袋袋麥子搬到國王面前，但是隨著格數的增長，所需的麥子增加得實在是太快了，很快國王就發現，即便把整個印度的麥子都拿過來，也滿足不了達依爾的要求，因為計算一下我們就知道，這需要18 446 744 073 709 551 615顆麥粒！

這個數字雖然不像宇宙中原子總數那麼大，但也足夠可觀了。假設一蒲式耳1小麥有5 000 000 粒，我們需要4萬億蒲式耳才夠！全世界平均每年產出小麥總量約為2 000 000 000 蒲式耳，所以宰相所求的賞賜，竟然是全球兩千年所產的小麥總和！

國王終於意識到他欠了宰相多麼大的一筆債，要麼他得忍受著達依爾沒完沒了的討債，要麼他乾脆砍了達依爾的腦袋。我猜國王估計會選後者。

另一個關於大數的故事也同樣出自印度，與「世界末日」有關。讓我們來看看鐘愛數學的歷史學家鮑爾（Ball）是怎麼講述這個故事的：

貝拿勒斯的聖廟標記著世界中心，在聖廟的穹頂之下，安放著一個銅盤，上面插著三根鑽石針，每根針高1腕尺（1腕尺大約20英寸），像小拇指那麼粗。在其中一根針上，梵天從下往上按由大到小的順序放了64片金盤，這就是所謂的梵天塔。按照梵天設定的規則，值班的僧侶夜以繼日地在三根針之間移動著金盤：每次只能移動一片金盤，同時小金盤必須置於大金盤上面。當六十四片金盤由一根針全部移動到另一根針上時，世間所有的一切都將會煙消雲散。

你可以試著自己做一套梵天塔的玩具，用紙板代替金盤，用長鐵釘代替鑽石針。玩這個玩具的過程中，你會很快發現一些規律：不論移動哪一片，所花的時間都比移動上面那一片多一倍。第一片只需要移動一次，第二片需要移動兩次，以此類推。當你把六十四片全部移動完畢，所需的移動次數竟然與宰相所求的麥粒數一樣多！

把這座梵天塔上所有64 片移動完畢，需要多長時間呢？每年有31 558 000秒，假設僧侶不分晝夜、沒有任何休息的時間，每秒鐘移動一次，簡單計算可知，總共需要將近5 800億年才能完成。

對比一下這個傳說和現代科學中的結論，其實還蠻有趣的。因為按照目前宇宙演化理論的推測，恆星、太陽和行星，包括我們的地球，由不定形物質大約形成於30億年前；除此之外，給恆星特別是給太陽提供能量的那些「原子燃料」還能持續燃燒100到150億年。因此我們這個世界的壽命無論如何也不到200億年，與印度傳說中預測的5 800億年相比要短得多。畢竟，那只是個傳說罷了。

在文學作品中曾涉及到的最大的數字，大概是那個著名的「印刷行數問題」了。

假設有一臺印表機能夠一行接一行列印出文字，並且每列印一行，列印的內容就會隨機改變。這臺機器的主要部分是由一排邊緣刻滿字母和符號的碼盤組成，碼盤和碼盤就像汽車的機械裡程表那樣裝配，上一個碼盤轉動一周時，下一個碼盤就會轉動一格，而紙張則會自動捲入。這樣的機器設計起來並不複雜，下圖就是這樣一個機器的示意圖。

讓我們來開動這臺機器，看看它印出的那些沒完沒了的東西。我們會發現印出的大部分行並沒有什麼意義，例如：

「aaaaaaaaaaa…」

或者：

「boobooboobooboo…」

或者：

「zawkporpkossscilm…」

但是既然機器把所有可能的組合都列印出來，我們自然也能從中找到一些有趣的句子，雖然絕大多數都沒什麼意義，比如：

「horse has six legs and…（馬有六條腿，而且……）」

或者：

「I like apples cooked in terpentin…

（我喜歡松節油煎蘋果……）」

當然了，只要繼續找下去，我們也一定能找到莎士比亞（William Shakespeare）寫的每行著作，甚至包括他扔到廢紙簍中的那些文字！

實際上，這樣一臺機器能夠寫出有史以來所有的句子，每一行詩歌、報紙上的每篇社評或是每個廣告、每一卷科學論文、每頁情書、每一份牛奶訂單……

這臺機器不僅能夠列印出已有的文字，甚至能夠列印未來所有的內容。從滾筒卷出的紙張上，我們能夠讀到30世紀的詩集、未來的科研發現，或是2 344年星際交通事故的統計數據。同樣也會有一頁頁還未面世的短篇、長篇小說，若是出版商有這樣一臺機器，就只需要從一堆垃圾中把好的內容挑出來就行了——聽起來似乎與他們現在幹的事也差不太多。

為什麼沒這麼幹呢？

來讓我們算算，要得到所有字母和符號的組合，我們需要印多少行出來。

英文中一共有26個字母，10個數字（0，1，2，…，9）和14個常用的標點符號（空格、句號、逗號、冒號、分號、問號、嘆號、破折號、連字符號、引號、省略號、小括號、中括號、大括號），加起來一共50個字符。印刷中一般平均每行有65個字符，因此我們假設這臺機器一共有65個碼盤。因此對每一行來說，第一個字符有50種可能性，第二個字符也有50種可能性，因此一共有50×50=2 500種可能性。同樣，第三個字符也有50種可能性，以此類推，每一行可能的組合數目為：

或者表示為：

5065

也就是10110。

為了感受一下這個數字有多大，我們假設宇宙中的每個原子都是這樣一個印表機，因此我們有3×1074臺印表機在為我們工作。假設這些機器自從宇宙誕生之初就開始工作，已經持續工作了30億年，即1017秒。進一步假設這些印表機以原子的振動頻率工作，也就是每秒列印1015行文字。計算一下我們可以得知，到目前為止這些印表機列印出的總行數為：

3×1074×1017×1015=3×10106

這也只不過是上述所有可能性的三千分之一罷了。

所以，要從這自動列印出來的內容當中挑點有用的東西出來，恐怕得花很長很長時間了。

《從一到無窮大》

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