數學是高等智慧生物的共有思維，是對真理的探索，對矛盾的懷疑，但它絕非一門晦澀難懂的學問，非應試目的的數學是純粹而樸實的智慧。《數學與生活》為日本數學教育改革之作，旨在還原被考試扭曲的數學，為讀者呈現數學的真正容顏，消除應試教學模式帶來的數學恐懼感。
1.1 從未開化到文明
有一位數學家接受手術。在開始手術前，外科醫生讓這位數學家聞麻醉藥，並且叫他數1，2，3，…。這位數學家要是在平時，別說是1，2，3，…，就是極大或是極小的數也都能隨心所欲地數出來，可是他卻抵抗不住麻醉藥，數1，2還可以，數到3就人事不知了。一滴氯仿就把數學家帶回到只能數到3的未開化人的狀態去了。
用一滴麻醉藥，就能把數學家帶回到未開化人的世界去，但是反過來，從未開化人變成數學家的道路可就漫長而又遙遠了。不僅僅是漫長，那還是一條極其曲折的道路呢。為了看清數學這門學問的本來面目，我們有必要回到起始點，在這條曲折的道路上再走一遍。
精神病醫生為了試驗病人的神智是否清楚，好像就是讓病人數數的。據說從前在泰國的法庭上也是讓證人數到 10，如果數不上來，就沒有資格作為一名證人。但如果根據這件事就想說「數學是智能的檢驗標準」的話，一定會有許多人瞪著眼反對。這是因為在這個世界上有許多人討厭數學。
與喜歡數學的柏拉圖不一樣，討厭數學的索克拉提斯說：「在數學家當中，沒有人能夠作認真的推論。」另外，還有很多人公然說數學這種東西是有害無益的。
可是，喜歡、討厭姑且不說，既然生活在現代，沒有數這個東西就不能生活下去。其實只要想一下在每天的報紙上出現多少數字就明白了。所以，即使是討厭數學、對計算覺得棘手的人，實際上也是懂得相當多的數學、很會應用數學的人。站在未開化人當中，就是第一流的數學家了。
即使說數學不行或者討厭數學，也並不意味著這個人的智能或人品不好。可是要在現代社會生活下去，不用說，會有很多不便之處。一看見數字就頭痛的人，跟一坐車就暈車的人是一樣的吧。
1.2 數的黎明
從前——距現在大約50萬年，在現在北京郊外周口店的洞穴裡，居住著人類的祖先北京猿人。從他們遺留下來的石器和動物的骨骼，可以大致知道他們從事什麼樣的勞動，吃什麼樣的食物。但是要推測他們懂什麼數學就非常困難了。為什麼呢?因為數這個東西是無形的，沒有一種直接了解的線索。
但這並不是說就沒有一種間接的線索，去了解人類在太古時期如何建立數字或圖形的知識。這線索就是考察在文明進步中遺留下來的未開化人的數學，另外就是觀察在幼兒當中，數的概念是怎樣建立的。
首先產生的問題是，除了人類以外是否真有動物了解數？就像經濟學家亞當斯密說的那樣：「數是人類在精神上製造出來的最抽象的概念。」確實，即使像1,2這樣最簡單的數，要是和其他語言相比較，也是很抽象的，除了人之外，其他動物好像還沒有知道數的。
然而有人認為鳥知道數。例如，杜鵑悄悄把自己的蛋產到黃鶯的巢裡，讓黃鶯替它孵蛋，它會把和自己的蛋數相同的黃鶯蛋去掉。從這個事實來看，人們自然會產生這樣的疑問：鳥不是會數數嗎?德國的動物學家奧凱拉作了鳥能數到什麼程度的試驗。但是以往這種試驗，由於準備不充分，結果難以信賴。從前也曾有過這樣奇怪的事情——馬戲團的馬因為會計算而聞名，可仔細研究一下就知道，是馬的主人在不知不覺中送出一個什麼信號，然後敏感的馬回應了這個信號。
凱拉為了防止一些雜音混進來，小鳥放到一個院子裡，讓小鳥和實驗者彼此都看不見，小鳥的動作用照相機自動拍下來。
實驗對象就是烏鴉和鸚鵡。在鳥的前面放五個箱子（見圖1-1），箱子蓋上畫著標記點，分別是2，3，4，5，6。箱子前面也放著畫有標記點的蓋子。預先讓鳥作挑出與蓋子上標記點相同的箱子的練習。經過充分練習之後，再讓鳥作挑出同樣數目的試驗時，鳥能夠出色地取得成功。而且即使把五個箱子的排列方法作各種變化或改變標記點的畫法，也不會失敗。
圖1-1上面的試驗是讓鳥同時認標記點的個數。接著又作了按時間順序數數的試驗，先讓烏鴉作這個練習，就是從許多食餌中按特定的數，例如取5個食餌來吃。取食的時候，擺好幾個內部裝有食餌的小箱，而順序放入這些小箱裡的食餌的數量是1，2，1，0，1，…。這個試驗就是把箱子打開，讓鳥只吃5個食餌。當吃的食餌少於5個時，就必定讓烏鴉回籠子去。
這樣一來，就會有驚人的事情發生。當鳥吃完裝有一個食餌的第1箱以後，它就點一下頭（見圖1-2），吃完裝有兩個食餌的第2箱以後就點兩下頭，第3箱吃完點一下頭，對空著的第4箱就不聞不問地跳過去，到吃完第5箱之後又點一下頭，然後，據說臉上好像是「我吃完了」的樣子，對第6箱不予理睬就離開了。
圖1-2點頭的次數就是箱子裡的食餌數，也許這是烏鴉預先記住食餌的數目，知道是不是夠數吧。從這樣的試驗來看，會數數的不僅是人呢。我們人類的優越感就只好化為烏有了。
但是只憑這一點就斷定鳥類知道數似乎還早了一些。為什麼呢?這是因為要說知道數，必須有幾個條件。我們看看這些條件吧。
1.3 一一對應
英國的數理哲學家巴特蘭多拉賽爾說：「要覺察到兩天的2和兩隻雉雞的2是同樣的2，需要有無限長的歲月。」確實像拉賽爾說的那樣，2這個數對於兩個雞蛋、兩條狗、兩個人、兩隻鳥、兩本書都是共同的，所以即使把兩個雞蛋換成兩棵樹，2還是有沒有變化（見圖1-3）。
1.3一一對應圖1-3像這樣把一個一個的雞蛋和一棵一棵的樹聯繫起來就叫做一一對應。但即使一一對應起來，2還是不變的。我們利用一一對應而數不變的這件事，就想出一種用容易數的東西來替換不容易數的東西。據說豐臣秀吉為了數山上的樹木，就在每棵樹上系一根繩頭兒，然後再數這些繩頭兒。這就是把樹的集合以一一對應的方法轉換為繩頭兒的集合，然後再數。另外，根據一位旅行家的手記，說在馬達加斯加島，為了數有多少士兵，讓每一名士兵走過隊長面前時，投下一粒石子，然後數那堆石子。這也是因為士兵的集合與小石子的集合是一一對應的。壽司店在顧客每吃一個壽司飯糰時，就在櫃檯上粘一個飯粒，以此來數吃過的壽司飯糰數，這也是利用了一一對應而數不變的原則。
可是杜鵑知道這件事嗎?它即使能找到與自己的蛋數相同的黃鶯的蛋，那也是因為這兩種蛋很相像吧。它似乎不會想到3個蛋與3棵樹是同樣的3。
不僅是鳥，很小的孩子好像也不知道這事。瑞士的心理學家皮亞傑做了以下的實驗。把幾個花瓶和一些花給一個5歲零8個月的孩子，讓他在每一個花瓶裡插一枝花。接著再把花攏在一起，問他是花多還是花瓶多，孩子回答說是花瓶多，因為把花攏在一起，能看見的少了（見圖1-4）。把花一枝一枝地插在花瓶裡就是一一對應的事，可是這個孩子卻想不到花瓶與花的數目是相等的。我們必須認為這個孩子對於一一對應而數不變的事還不明白。如果人在孩提時代還不懂數是一一對應而不變的話，那麼鳥或者蜜蜂就更不懂了吧。
上文節選自《數學與生活》修訂版, 已獲圖靈許可, [遇見數學] 特此表示感謝!
作者者：遠山啟譯者者：呂硯山 , 李誦雪 , 馬傑 , 莫德舉出版社：人民郵電出版社圖靈新知出版年：2014年10