兩點間距離公式在代幾綜合中應用

2021-01-08 木木初中數學

題目：衢州2020中考數學第23題

23.（本題滿分10分）

如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，C分別是直線y=-8x/3+4與坐標軸的交點，點B的坐標為（-2,0），點D是邊AC上的一點，DE⊥BC於點E，點F在邊AB上，且D,F兩點關於y軸上的某點成中心對稱，連接DF,EF.設點D的橫坐標為m，EF2為，請探究：

①線段EF長度是否有最小值.

②△BEF能否成為直角三角形.

小明嘗試用「觀察-猜想-驗證-應用」的方法進行探究，請你一起來解決問題.

（1）小明利用「幾何畫板」軟體進行觀察，測量，得到隨m變化的一組對應值，並在平面直角坐標系中以各對應值為坐標描點（如圖2），請你再圖2中連線，觀察圖像特徵並猜想與m可能滿足的函數類別.

（2）小明結合圖1，發現應用三角形和函數知識能驗證（1）中的猜想，請你求出關於m的函數表達式以及自變量的取值範圍，並求出線段EF長度的最小值.

（1）小明通過觀察，推理，發現△BEF能成為直角三角形，請你求出當△BEF為直角三角形時m的值.

解：問（1）連線送分，二次函數。

問（2） A(0,4)、C（0,3/2）E（m，0）D(m，-8m/3+4)

F點坐標怎麼求？ 「D,F兩點關於y軸上的某點成中心對稱」

Fx= -m

直線AB:y=2x+4

F（-m，-2m+4），E、F兩點坐標都表示出來了

L=8m2-16m+16 化成頂點式當m=1時，最小值=8，注意EF=2根號2

0≤m≤3/2

問（3）∠B不能為直角，另外兩個角都可能是直角

當m=0時，多點重合，比較特殊，但是也符合要求。

B（-2,0），運動兩點間距離公式，結合勾股定理，當∠BFE=90°時

求出m=2（舍）m=4/3

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