初三數學期末考試必考考點之一元二次方程及其根的考點詳解

2020-12-06 尖子生數理化教育

初三數學期末考試必考考點之一元二次方程及其根的考點詳解

本課程適用於九年級以及九年級以上的學生，尤其是針對即將參加2019年期末測試的九年級的學生，快來跟我們一起學習吧，爭取在期末測試獲取理想成績哦！符號說明：x的二次方，記作：x^2。乘法符號記作*，如2乘以2記作：2*2。編輯頁面的格式有限，咱們就這樣進行相關的標記了

1 一元二次方程

基本概念：含有一個未知數，未知數的最高次數為二次，則為一元二次方程，關於哪個變量的方程為一元二次方程則其最高次數必須為2次，且必須為等式才行。

即一元二次方程有三個特徵性質：

（1）含有等號。

（2）含有一個未知數。

（3）未知數的最高次數為2次。

常見一元二次函數的形式：ax^2+bx+c=0（a不為0）注意，此處a一定不能為0。

考題訓練1：

已知|a+2|x^2-x^2+(a-1)x^4+5ax+a=0是關於x的一元二次方程，則a的值為：

A 0

B 1

C -1

D 不存在

解析：根據上面講到的一元二次方程的三個特徵性質進行相關的判斷即可。

關於x的一元二次方程，因此（a-1）=0，且將x^2的係數進行合併後的|a+2|-1不為0，解得：a=1

考題訓練2：

已知：x^2*a^4-a^4+a^2+ax+x+a為關於a的一元二次方程，且不存在一次項，試問，x的值為（）

A 0

B 1

C -1

D 1或者-1

解析：按照題意進行相關的等式羅列即可。

（1）x^2-1=0

（2）x+1=0

解得：x=-1

易錯點提醒：很多考生會認為是關於x的方程，結果列不出正確的等式，從而求不出來正確的結果。

2 一元二次方程的解法

無論是期末測試還是最終的中考這個都是必不可少的內容，學生們一定要在此塊多下功夫，一旦粗心就會做錯的！

一元二次方程的解法比較多，我們將這幾種方法都給出總結，你根據自身的實際情況做出相關的方法選擇，沒有最好的方法，而適合自己的方法才是最好的方法！

講解求根之前，你必須要知道的六個小概念：

關於x的一元二次方程，形如：ax^2+bx+c=0（a不為0）的形式。

一次項：bx，二次項：ax^2，常數項：c。

一次項係數：b，二次項係數：a，常數項c。

六個基本概念清晰後，我們來說一下解二元一次方程的方法和技巧

（1）因式分解法

常見的因式分解法有提取公因數法或者湊平方差或者完全平方法或者十字相乘方法。

注意：中考或者期末測試對求解醫院二次方程的核心考點為因式分解法，所以學生們對此塊內容要熟練掌握。

求解下列各式的根：

例題1：3x^2+3x=0

提取公因數x得：3x（x+1）=0

解得：x=0或x=-1。

例題2：x^2+2x+1=0

可以湊為完全平方式，得：

（x+1）=0，得：x=-1。

例題3：x^2+7x+12=0

十字相乘因式分解：

x 3

x 4

得：（x+3）*（x+4）=0，得：

x=-3或者x=-4。通常我們將兩個根記作：x1和x2。

局限性：只能適用於可以因式分解的一元二次方程求解方程的根。

（2）公式法

公式法是所有一元二次方程中都可以使用的方法，需要記住公式的原形，否則就會求錯哦！

首先找到一次項和二次項的係數，以及常數項，然後代入下面的兩個公式分別進行求根即可，這個公式會保證你的根萬無一失的哦！

x1=[-b+（根號(b^2-4ac)）]/(2a)

x2=[-b-（根號(b^2-4ac)）]/(2a)

例題4：x^2+2x-1=0

解析：a=1，b=2，c=-1

所以兩個根：

x1=[-b+（根號(b^2-4ac)）]/(2a)=[-2+根號（(-2)*(-2)-4*1*(-1)）]/(2*1)=-1+（根號2）

x2=[-b-（根號（(b^2-4ac)））]/(2a)=[-2-根號（(-2)*(-2)-4*1*(-1)）]/(2*1)=-1-（根號2）

注意：這個方法一定要保證公式回答正確了，否則就會計算錯的。

技巧：為保證這個方法萬無一失地求正確，建議大家一步步的來，將a，b，c進行羅列，再進行公式的代入求解，一定要「步步為營」，處處小心，求解完以後一定要再帶回去原來的方程中，看看是否滿足，否則就求錯了！

（3）配方法

這個在中考和期末測試中考察的比較少，但是還是有那麼一小部分學生喜歡用這個方法來解方程，我們直接給出相關的例題講解這個方法的核心思想吧！

例題5：x^2+4x-5=0

（配方法的思路：等式左邊化成完全平方的形式，右邊是常數項，然後利用平方根公式進行相關的求解即可。）

解析：x^2+4x+4-5-4=0

移項得：x^2+4x+4=5+4=9

即：（x+2）^2=9

由平方根的求解得：x+2=3或者x+2=-3

得：x=1或者x=-5

3 一元二次方程的兩個根的關係

上面我們對三個相關的求根方法進行了詳解，接下來我們來給出具體的兩根之間的關係，也即中考必考的神聖定理之韋達定理：

上面給出了公式法進行兩個根的求解：

x1=[-b+（根號(b^2-4ac)）]/(2a) ①

x2=[-b-（根號(b^2-4ac)）]/(2a) ②

①和②左右兩邊同時相加，得：

x1+x2=-2b/2a=-b/a

①和②左右兩邊同時相乘得：

x1*x2=[(-b)^2-(b^2-4ac)]/(4*a^2)=c/a

注意：此處的兩個根都有開根號運算，因此要想求得的結果為兩個根，必須要滿足：

b^2+4ac>0，否則無法去談論兩個根的和或者積。

因此當b^2+4ac=0時，只有一個根，沒有必要研究其兩個根的和或者積。

而當b^2+4ac<0時，沒有根，也不存在什麼兩根和與兩根之積了。

求下列一元二次方程的兩根之和與兩根之積：

例題6：2x^2+4x+6=0

錯誤求解：

x1+x2=-b/a=-4/2=-2

x1*x2=c/a=6/2=3

正確求解：

首先判斷其有沒有根，b^2-4ac=4*4-4*2*6=16-48=-32<0，因此原方程沒有實數根，也沒有兩根之和與兩根之積。

例題7：

2x^2+4x-6=0

解：b^2-4ac=4*4-4*2*(-6)=16+48=64>0，因此其有兩個不相等的實數根。

所以直接利用韋達定理求解得：

x1+x2=-b/a=-4/2=-2

x1*x2=c/a=-6/2=-3

注意：在運用韋達定理之前，一定要保證根的判別式大於零才可，否則就會中了出題人的圈套了！

本次課程我們就先講到這裡了，下次課再見！如您有相關的疑問，請在下方為我們留言，我們將第一時間給以您滿意的答覆！

聲明：本文為尖子生數理化教育的原創文章，未經作者同意不得進行相關的複製和轉載，翻版必究！！！

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