作為求極限的最強殺器，泰勒展開以它簡單粗暴的運算方法，深受工科數學出題老師的喜愛。人們在運用泰勒展開時，在感受到這方法的強大與萬能時，也常苦於運算複雜和如何確定展開階數的問題，在此便稍微論述相關問題。
一.使用泰勒展開的目標
一般情況下，要求的極限是當x趨近於0時的極限，就算x不是趨近於0，也常常可以用換元等方法變成上述類型。使用泰勒後，我們期望也應該得到的式子是多項式除以多項式的形式。
自然，我們也肯定想要分子的最低次數和分母的相同，以便我們可以在趨近0時可以約去，以得到一個常數（帶一個無窮小量），極限就這樣可以得出。也就是說，我們展開後的目標是這樣的：
二.確定展開階數
一般而言，大部分的這種極限類型為A/B式，A-B式及此二者的結合。
首先看個典型的錯題：
這題主要出現了兩個問題，放的階數不夠及無窮小量被自動忽略了，出現了x·o(x)等於o(x^3)的錯誤，這也提示了我們，當我們發現乘出來的無窮小量不能合為一個無窮小量時，很有可能是展開的還不夠。至於此題的正確解法希望同學們看完文章後自行給出。
A/B型
正如我們在第一部分所說，我們希望分子分母同階（或分子階數比分母更高），一般而言，我們先確定分子或分母的階數，再按照這個階數展開另一部分。
例如：
顯然分母是三階的，那就只需要將分子也展開到3階即可。也就有：
A-B型
但我們平時見到的大部分極限，除了有些我們作為常識的階數，大部分的分子分母是很難明顯看出階數的，如第一題的分子，這種主要是以A-B的形式存在，對這種式子階數的確定，我們另有方法。
方法聽上去也很簡單，一項項比，直到沒法消去為止。
比如來確定下面這個式子的階數。
我們來看看這個式子的兩部分，用我們已經背下來的公式套套看(剛開始背不下來多翻翻，抄久了自然背得下來）。
看到這前幾項後，注意到相減後前兩項都會消失，但x^4項還在，因此我們可以認為，這個式子是4次的。
來看個複雜的題目
先嘗試確定分子或分母的階數，看上去分母更簡單，就分母下手。
這樣即可得分母為3階，那將分子每項都展到3階即可。
三.使用泰勒展開的運算問題
1.不能不寫無窮小量！也不要還沒取極限就約掉了。泰勒展開是個等式，不是近似等式。
2.當已確定階數時，遇到AB(A、B都需要泰勒展開時），建議將A和B都展開到該階數再相乘，否則容易發生像最上面的錯例那種情況（分母顯然為三階，分子e^x*sinx這項e^x只展到了2階，sinx只展到了一階，導致出現問題。
3.對於乘式的展開和複合函數的展開巨大的運算量，要學會適當估計階數扔掉太小的無窮小量，特別是複合，複合函數的展開練的多後可以不用兩部分都展到同階數。比如將下面這個式子在x=0展到4階。
先確定複合，三次根式可以看成1/3次方，使用（1+u)^a的展開式，其中u=1-cosx(注意u應該也要趨近於0，才能使得前一個式子可以進行麥克勞林展開)。
（注意到從第一個式子確定出1-cosx為2階，第二個式子就不必再展到4階，展到2階即可,反正u的三次方至少是x的六次方）
上式中有一項是u^2的化簡，注意到我們目標是展到四階，u*u想要得到四次及以下的項，只可能是x^2項與x^2相乘，就直接得到了1/4x^4。在做乘法或乘方時，找哪幾項相乘階數滿足要求比全展開要快得多。
4.多記多用，自然算的快，三大三角函數，e^x,ln(1+x),(1+x)^a的三階展開最好牢記於心。泰勒也不是死的，和一些化簡技術一起用更強。
5.祝大家都能掌握泰勒展開此神器，不懼求極限題。有任何不懂之處也可前來提問，統統歡迎。
這是學委給大家辛苦整理的微積分複習課（尤其是泰勒）
希望大家認真複習呀~
製作不易 感謝學委呀！