標準偏差如何與均方根值相關

 

本文探討了重要的統計度量與電氣工程的基本分析工具之一之間的有趣聯繫。

如果您只是參加有關電氣工程統計的本系列文章，那麼您可能想從第一篇介紹統計分析的文章開始，第二篇回顧統計性描述。最近，我們在計算標準差時涉及了樣本量補償-特別關注貝塞爾的校正。

在本文中，我們將基於上一篇文章對標準偏差的討論，該討論捕獲了數據集或數位化波形中隨機變化的平均功效。該平均功率表示為幅度，例如表示為瓦特而不是伏特。

我們使用以下公式計算標準差：

 

均方根（RMS）評估

我們大多數人可能首先在AC分析的背景下了解了RMS值。在交流系統中，電壓或電流的RMS值通常比指定峰值電壓或電流的值更具參考價值，因為RMS是更直接的功耗路徑。

在計算功耗時，我們不能使用峰值電壓或電流值，因為電壓或電流一直在變化，因此瞬時功耗也在變化。基於峰值的計算將高估時間平均功率。

RMS幅度使我們可以像計算直流量一樣計算功耗。更具體地說，正弦電壓或電流的RMS幅度等於將產生相同數量的時間平均功耗的DC信號的幅度。

連接到10Ω電阻一個12 V電池將產生122/10 = 14.4 W（瞬時和平均）功率。如果我們用RMS振幅為12 V的交流電源電壓更換電池，則（平均）功率將相同。

使用正弦信號時，計算RMS幅度很容易：我們只需將峰值除以√2。下圖提供了對此關係的有趣說明。

在這裡，我們通過將峰值除以√2來計算正弦信號的RMS幅度。

功率與電壓或電流的平方成正比。連接到電阻為R的電路的1 V直流電壓將產生12/ R = 1 / R瓦特的功率。通過檢查我們可以看到藍色曲線的平均值為1；藍色曲線的平均值為1。因此，由於藍色曲線等於紅色曲線的平方，因此紅色曲線產生的平均功率也將為1 / R。

現在注意紅色曲線的峰值：√2（約1.4）。這證實了我們需要將峰值除以√2才能確定應用標準公式V2/ R或I2R時產生正確平均功率的幅度。

完整RMS計算

我們中那些經常使用交流電氣系統的人需要記住，RMS幅度不僅限於正弦信號。此外，生成RMS幅度的數學過程比除以√2要複雜得多。

碰巧正弦波的過程等效於除以√2。此簡化不適用於其他類型的信號，例如方波，三角波或噪聲。

 

水平線表示此噪聲波形的RMS幅度。隨機噪聲的峰值往往比RMS幅度高3至4倍。

實際的RMS計算（即我們通常應用於信號的計算）表示如下：

 

這是用公式表示的過程：假設x（t）是一個時域信號，在從時間T1到時間T2的時間間隔內是周期性的。我們對x（t）求平方，在相關間隔內對該平方信號進行積分，將積分值除以間隔長度，然後取平方根。

從T1到T2積分，然後除以（T2-T1）類似於將信號中的所有值相加並除以值數。換句話說，執行這兩個步驟是計算數據集算術平均值的時域等效項。因此，我們正在採取的平方根的的平均中的平方信號：均方根。

離散數據的RMS

我們如何將上面給出的公式轉換為可應用於離散數據的內容？換句話說，我們如何計算數位化波形的RMS幅度？

讓我們這樣看待它：首先，我們對各個值（例如x [1]，x [2]，x [3]等）求平方，而不是對函數（例如x（t））求平方。接下來，當我們從連續時間信號變為離散時間信號時，積分變為求和，時間間隔變為數據點的「間隔」，即求和的數據點數。最後，我們有平方根，它不會改變。

因此，我們可以編寫如下的離散時間RMS計算：

 

這開始看起來很熟悉嗎？我們對值進行平方，將它們求和，除以值的數量，然後取平方根。

此過程與我們用於計算標準偏差的過程之間只有兩個區別：

用RMS，我們除以N；在標準差下，我們（通常）除以N-1。我們可以忽略這種差異，因為使用N-1隻是為了補償較小的樣本量（有關更多信息，請參見上一篇文章）。

使用RMS，我們對數據點求平方；對於標準差，我們將每個數據點與平均值之間的差平方。

如果我們試圖在RMS和標準偏差之間建立等效關係，那麼第二個差異可能會破壞交易。

但是，請考慮以下問題：如果平均值為零（在電信號中通常如此），則RMS計算與標準偏差計算之間就沒有差異。換句話說，對於沒有直流偏移的信號，該信號的標準偏差也是RMS幅度。

結論

我不會嘗試探索標準差和均方根之間的等效關係的全部意義。儘管如此，在結束之前，我想提一下從這次討論中得出的兩個有趣的觀點。

首先，標準偏差給出了波形的「 AC耦合」 RMS幅度：當信號的DC偏移不相關時，我們可以計算標準偏差，這僅給出了AC部分的RMS幅度。

其次，標準差可以解釋為噪聲的量化，並且噪聲分析與均方根緊密相關。