對稱性、群、李群

2021-01-20 自然神
第二講 對稱性、群、李群2.1  對稱性（symmetry）

什麼是對稱性？對稱性即變換之下的不變性！

例1：二次函數

例2:正三角形的不變性：繞中心點O分別旋轉

例3:晶格上的平移

例4：時空平移對稱性由

取極值可推知拉格朗日方程

進而確定拉式量

由空間的均勻性推知動量守恆：

對任意

根據拉格朗日方程得

即得到動量守恆

由時間均勻性推知能量守恆：封閉系統的拉格朗日函數不顯含時間，因此拉格朗日函數對時間的全導數可寫成

結合拉格朗日方程將

或者

由此可得能量守恆

德國女物理學家諾特（Noether）發現一個極其深刻的定理：每個連續的對稱一定對應一個守恆量。

例5：規範對稱性：電磁學中的麥氏方程組

在規範變換下

麥氏方程組等價為

由於電荷守恆可推出

即

例6：標準模型&Yang-Mills理論（規範）對稱性


2.2 群（Group）

群的定義：集合

1）封閉性。

2）結合律。

3)存在單位元e。

4)存在逆元。那麼就稱集合G構成一個群。

所有整數的集合在加法作為群乘法的意義下構成一個Abel群（交換群）。

註：

註：一般地，群不滿足交換律

對於滿足交換律的群，稱為Abel群。所有的n階可逆方陣在矩陣乘法作為群乘法的意義下構成一個群（非Abel群）。

例如：正三角形的對稱變換群（

A:繞O轉動

B:繞O轉動

C：繞O轉動

D:相對

E:相對

F:相對

G={A,B,C,D,E,F}是否構成一個群？

定義群乘法：相鄰兩次連續操作。A為單位元，G中每個元素都有逆元，且滿足封閉性和結合律，故G構成群。

特別注意：群是一個抽象的概念，與具體的群元和群乘法無關，唯一重要的是群元之間的群乘法關係。

例如：

2.3李群

若群參數連續且無限階可微的群稱為李群，群參數的個數稱為李群的維數。

例1：二維轉動矩陣

例2：U(1)群

所有單位複數構成的集合

物理上，U(1)對稱性

例3：SO(2)群 ：（S:special,特別的，此處是det=1;O:orthogonal,標椎正交的；2指2維）

可用來描述二維轉動，但SO(2)是一維的。那麼，U(1)是否等價於SO(2)呢？


例4:SO(3)群

描述三維空間的轉動，需要三個參數

例5：SU(2)群：（S:special特別的,即det=1；U:unitary是單位或歸一，

矩陣


思考題:一個

設

，其中a,b,c,d為複數，因此有8個參數，但


由

由

方程（4）和（5）等價，因此（1）——（4）給出矩陣元的限制條件，由（4）可得

可得

同理可得

由（6）(7)和（3）就可以得出（1）。因此約束方程是五個，所以

將a,b兩個複數用模和幅角表示，令

由約束條件有：

這樣可得出由

它是一個三參量的連續群。

綜上，


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