用來存儲琥珀色花蜜的蜂巢的精細程度堪稱是工程學上的奇蹟，蜜蜂是如何做到的呢？一列列菱形巢室拼接成完美的六角形剖面。蜂蠟壘出的巢壁都有著精確的厚度，甚至每個巢室都會稍稍傾斜角度以避免粘稠的蜂蜜流出來。整個蜂巢與地球的磁場保持一致。工蜂們既沒有建築藍圖更不會高瞻遠矚，它們僅僅在日常釀蜜的過程中通過一定程度上的互相協作以避免某個巢室的錯位。日復一日就自然形成了我們看到的蜂巢。
古希臘哲學家帕珀斯認為蜜蜂們被賦予了「某種幾何方面的先見之明」。但智慧來源呢，難道是上帝嗎？ William Kirby 在 1852 年時稱，「蜜蜂是神明教導過的數學家」。而達爾文並不完全認同，他做實驗來驗證，是不是像他的進化論觀點認為的那樣，在沒有其他幹預的情況下，蜜蜂僅靠進化和繼承就能建造完美的蜂巢。
力量在起作用 ︰ 蜜蜂似乎已經進化出使用分泌的軟蠟去構築完美六角形巢室的能力。然而，一些研究人員認為，軟蠟表面的均勻張力促使其收縮為面積最小的形狀，就像泡筏上面裂變出的氣泡。Grafissimo / Getty
那麼，為什麼又是六邊形呢，這是一個簡單的幾何問題。如果你想要把大小形狀完全相同的單元攤平在一個平面內，只有三種常見形狀可行（等邊等角）︰ 等邊三角形、 方形和六角形。其中，與正方形和三角形相比，六角形對邊長的要求最低。由此，在面積相同的情況下，六邊形比三角形或正方形的總邊長都小。所以，蜜蜂會選擇六邊形是有道理的，因為這種形狀具有力學上的合理性和材料的節省原理— —就像建築工人會控制磚的用量以節省成本。這個事實在 18 世紀時被發現，達爾文稱六邊形的蜂巢「最大限度地節省了勞力和蜂蠟的使用。」
達爾文認為自然選擇賦予了蜜蜂泌蠟築巢的天賦，並且六邊形比其他形狀更加省時省力。然而，即使蜜蜂在處理蜂房角度和巢壁厚度時看似有些特殊能力，但人們對蜜蜂到底是否有意的在使用這些能力卻莫衷一是。畢竟，製作六角形陣列的巢室本來也是大自然會插手的事兒。
六角泡泡：肥皂泡層主要包括六角型氣泡，儘管並不都是完美的六角形。也有一些五角或七角的氣泡。儘管如此，所有氣泡的邊線交點都分出三條邊，每兩條邊的夾角都接近 120 度。Shebeko / Shutterstock
如果你在水面上吹一層氣泡——即所謂的泡筏——這些氣泡會變成六邊形，或者近乎六邊形。你永遠不會找到四邊形的泡筏，如果四面氣泡壁碰到一起，它們會立即重新排列成三面的連接，夾角近乎120度，就像奔馳標誌的中心那樣。
很顯然這些泡筏的形成沒有外力因素，不像蜜蜂築巢。是物理定律塑造了這一模式。物理定律顯然有著明確的偏好，比如對三面聯結的氣泡壁的偏愛。在更複雜的泡沫中亦是如此。如果你把吸管插在一碗肥皂水裡，吹出立體堆積的泡泡，氣泡壁的頂點處總是四面聯結，薄層間的夾角大致呈109度，類似於四面體。
泡沫型視野：昆蟲的複眼是六邊形組合，就像泡筏結構一樣，儘管事實上，每個面都是一個透鏡，下面連接著長長的薄薄的視網膜細胞。生物細胞群形成的結構形式上通常遵循著和泡沫、泡筏一致的規則——三條邊在頂點相接。蒼蠅複眼多面體的微觀結構——正如下面看見的一樣——正是絕佳的例子之一。每個面都有四簇感光細胞，形狀和四個氣泡組成的氣泡簇一樣。Tomatito / Shutterstock
肥皂膜的聯結和氣泡的形狀遵循著一定的規則，這是由什麼決定的？自然比蜜蜂更在意經濟性。氣泡和皂膜是由水（表層是肥皂分子）形成的，液體表面的表面張力使得它們儘可能的小。這也是為什麼雨滴降落的時候是球形（近似）的：一樣的體積，和其他形狀相比球體有著最小的表面積。基於同樣的原因，荷葉表面的水滴凝結成一粒粒小水珠。
表面張力解釋了泡筏和皂膜的形狀。皂膜會自行尋找表面張力最低的結構，這意味著皂膜外壁面積儘可能的小。但是泡壁的構造也必須穩定，聯結點不同方向的拉力必須達到完美均衡，就好比教堂要能屹立不倒牆壁必須受力平衡。泡筏的三邊聯結和皂膜的四面聯結，就是能達成這種平衡的結構。
但是那些認為蜂巢不過是變硬的軟蠟泡筏的人（有些人這麼認為），不太能解釋為何在紙巢黃蜂（胡蜂）的蜂巢中也發現了一樣的六邊形排列，紙巢黃蜂築巢用的不是蠟，而是用咀嚼過的大量的木纖維和植物根莖，用這些東西它們造出了紙巢。表面張力在這裡發揮不了什麼作用，而且很清楚的是，不同類型的蜜蜂有著不一樣的建築設計方面的遺傳直覺，不同類別之間差異很大。
水滴的形成：當水落在憎水性表面上時，就會碎成水滴。這些水滴的形狀由表面張力（將它們拉成近乎球狀）、重力（將水滴在水平面上拉平）以及水與承載它的固體表面之間的相互作用力所決定。如果後面這些力足夠大，水滴句會被拉成透鏡狀的薄餅。如果如表面並沒有那麼強的憎水性，水滴會擴展成一層平平的光滑的膜。左圖：Stuchelova, Kuttelvaserova / Shutterstock；右圖： Olgysha / Shutterstock;下圖：Pitiya Phinjongsakundit / Shutterstock
雖然肥皂膜的這種幾何連接是由機械力的相互影響所決定的，但它並沒有告訴我們泡沫的形狀將會成為什麼樣子。一個常規的泡沫是由許多不同形狀大小的多邊形分子構成。靠近看你會發現它們的邊緣很少是條直線；它們是有一些弧度的。這是由於分子內的氣體壓強在小氣泡變小的時候變得更大，因此一個小泡泡的壁壘挨著一個大泡泡時就會產生輕微的膨脹擴張。更重要的是，一些表面有五個邊，一些有六個邊，還有一些只有四個或者三個。通過讓邊壁有一點兒彎曲，所有這些形狀都能成為一個接近於「四面體」的四聯通，這種種形狀是滿足機械穩定性所需要的。因此，氣泡的形狀有很多靈活性。泡沫，雖然受限於幾何法則，卻相當無序。
設想你能做出一個「完美的」泡沫，在它裡面的所有泡泡都是相同大小的。當滿足泡泡連接之間的角度時，要讓製造的所有的氣泡的泡壁面積儘可能的小，什麼才是理想的分子形狀？這已經被爭論了很多年，長久以來，人們認為，理想的分子形狀是一個有14邊、以正方形或者正六邊形為面的多面體。但是在 1993 年，比這更節省面積——儘管更無序的結構被發現了，它是由八種不同形狀的單元組成的集群的不斷重複所組成。這個更複雜的模型被用於 2008 年北京奧運會遊泳場館的那泡沫狀的設計靈感。
泡沫中分子形狀的規則也適用於一些活細胞分子。不僅是蒼蠅的複眼表現為相同的六邊形結構組成的泡筏，而且感光細胞在每一個單獨的鏡頭下也像肥皂泡一樣四個一組的聚起來。變異果蠅的每一組有超過四個這樣的細胞，這種排列也或多說少地類似於氣泡的排列方式。
利用泡泡：泡泡和泡沫被大自然所利用。這裡常見的紫色蝸牛懸掛在由泡泡覆蓋的粘液做成的浮力筏上，浮在海洋表面。這使得蝸牛能吃一些活在水面上的生物。Dorling Kindersley
由於表面張力，一個橫跨線圈的肥皂泡會被拉平，這就像是蹦床上的彈簧薄膜被拉平一樣。如果線圈的框架是彎曲的，這個膜也會自動以一個優雅的輪廓告訴你如何以最節省的方式以最少的材料方面覆蓋住框架之內的空間。這能告訴一個建築師，如何用最少的材料去做一個複雜結構的屋頂。而且，它們的這種所謂的「最小表面」也十分美麗精巧，值得建築師學習。由於它們的經濟性，建築師比如 Frei Otto 也將他們用在他們的建築上。
通過這種形態，這些平面不僅在表面積上面達到了最小化，同時也使它的總曲率上達到了最小化。一般情況下，一個平面彎曲的幅度越大，它的曲率就越大。但是曲率可以為正（向上的凸起），也可以為負（向下的傾角、凹陷或鞍型）。因此，一個彎曲的平面只要自身的正曲率和負曲率可以相互抵消，它的平均總曲率就可以達到零。這種曲率最小化的平面可以將空間切分出不同的通道和走廊，組成一個有序的迷宮，形成一個有序的網絡。這樣的網絡被稱為周期性極小曲面。周期性是指某一種結構會不斷重複以同一種形態出現，簡單來說，周期就是規則化的模式。當19世紀的人們第一次發現這個規律的時候，人們只是把它當作是一種數學領域的新發現。但是現在我們知道，在大自然中充斥著這種規律的現實形態。
從植物到魚類到哺乳動物，許多生物的細胞中都包含著具有這種結構的細胞膜。儘管人們現在並不知道這種結構對於生物究竟有什麼作用。但是這種結構存在的如此廣泛，以至於我們有理由相信這種結構對於生物的生存發展會起到某種積極的作用。可能這種結構有助於將不同的生化過程互相區分開來，以免他們相互串聯或幹擾。或者因為許多生化過程需要在鑲嵌著活躍生物分子和生物酶的細胞膜表面進行，這種結構有利於在生物的細胞膜表面有效的形成足夠多的生化過程所需要的工作平臺。
與此同時，我們還發現在許多蝶類動物諸如歐洲綠紋蝶或者 Cattleheard身上也存在著這種結構。這些蝴蝶的翅膀上存在著一種有序排列的堅硬的被稱為甲殼素的物質，這種物質排列形成了一種周期性極小平面，這種平面被稱為螺旋 24 面體。光波在這些翅膀上不同的結構之間的折射改變了光波的長度，導致了一些顏色因此消失，一些顏色因此被增強。因此，我們在這些蝴蝶的身上看到了此類結構改變顏色的能力。
礦物質的網絡：海面那精細多空的骨架，如同維納斯的花籃。它們是礦物質沿著泡沫狀的軟組織的交結點和交叉點擴散而成的「凍結的泡沫」。Dmitry Grigoriev / Shutterstock
海膽Cidaris rugosa的骨架是一個多孔的網，上面布滿了另一種周期性最小表面。它實際上是一種外骨骼，位於機體的軟組織的外部，從而用和粉筆、大理石同樣的物質構成的看起來嚇人的尖刺來形成一個保護性外殼。這些開放的網格結構意味著，它可以在比較輕的重量下具有較高的強度，而這正如在建造飛行器使所使用的泡沫金屬一樣。
要從堅硬陡峭的礦物質中造出有序的網絡，這些組織要先用柔軟彈性的膜建造一個模子，再把堅硬物質在這些互相交匯的網格中固定下來。其他生物可能會以這種方式用泡沫礦物質來建造更複雜的東西。由於光在規則化結構中反射的方式，這些結構可以像鏡子一樣限制和引導光。一種叫海毛蟲的奇幻海洋生物的幾丁質棘刺上的微型孔道具有蜂巢般的排列，這樣海毛蟲就可以把這些毛髮般的結構變成一種能傳導光的天然光纖，使得它可以隨著光照的方向變化而從紅變綠。這種顏色改變可以讓它躲避捕食者。
這種使用軟組織和薄膜來作為構造有規則的礦物質外殼的方式，在海洋中被廣泛使用。有些海綿擁有一條條像蜿蜒爬行的條框一樣的外骨骼，這些條框看起來很像肥皂泡的邊界和交匯處所形成的那種規則模式——只要表面張力主宰著建造過程，這就並非巧合。
這種被稱為生物礦化作用的過程在放射蟲綱和硅藻綱的海洋生物中產生了奇特的結果。有些這樣的生物擁有由六角形和五角形礦物質網絡組成的優美外殼。你可以把它們稱為大海之蜂巢。當德國生物學家（和天才藝術家）Ernst Haecker 於 19 世紀晚期第一次在顯微鏡下看到它們的形狀時，他把它們畫入了他的作品系列《大自然的藝術形式》，而這成了這些作品最吸引人的地方。對 Haecker 來說，這似乎證明大自然具有某種根本性的創造力和藝術性——自然法則更偏愛秩序和規則性。即使我們現在並不再認同 Haecker 的這一構想，我們也會認為 Haecker 的這一看法是有意義的：這些規則圖樣是大自然的一種不可抑止的衝動，而我們在這裡面發現了美。