特殊數列之等差數列與等比數列

2021-01-09 小朱與數學

特殊數列之等差數列

等差數列是一種有特殊規律的數列，它的後面一項減去前面一項的差值是一個定值，其一般表示形式如下所示

它的相鄰兩項具有統一性質的聯繫，其遞推關係為

如果已知等差數列第1項，其第n項比第一項多出n-1個公差d，那麼其通項公式可表示為

同理，如果已知等差數列第m項，其通項公式可表示為

這是一個關於正整數變量n的函數表達式。

由於等差數列的特殊性質，其前n項和也可求出表達式，根據高斯的求解過程推導如下

特殊數列之等比數列

等比數列也是一種常見的有特殊規律的數列，它的後面一項與前面一項的比值是一個定值，其一般表示形式如下

從上述表達式中可知，等比數列的前提是其每項都不為0，遞推公式為

根據遞推公式可得到第n項與第1項的關係，即通項公式可表示為

也可根據通項公式求出其前n項和公式，推導過程如下

等差數列和等比數列是最基礎、最簡單的數列，是研究其他類型數列性質的基礎，其公式的推導思想是很重要的。

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