一分鐘數學——等比數列求和

2021-01-14 無憂公主的數學時間

等比數列求和


什麼是等比數列？例如 3、6、12、24 就是，意思是第一項任意，隨後的每一項都是前面的一項乘以固定數（公比）。可能有同學發現了，這和等差數列很像啊，唯一的區別就是乘以公比和加公差。既然等差數列有求和公式，等比數列有嗎？怎麼求呢？


我們列出的算式是：




為了得到一個等比數列，要素是首項、公比 q。把原式轉化成下面的算式，並列出第二個算式進行抵消。






現在將第一個算式減去第二個算式，得：




別以為我們已經獲得了最終的公式了，還少了一個條件呢。如果q=1會如何？分母是 0，顯然行不通。當 q=1 時，這個等比數列的求和公式就是：S=任何一項×n。所以必須是 q 不等於 1 的情況下，上述公式成立。接下來看無窮無盡的等比數列求和公式，無窮無盡的怎麼辦？如果 0 < q < 1，那和會收斂，因為將許許多多的 q 連乘，所得的積是不斷變小的並趨向於 0。分子中的減數將會非常非常的小，以至於接近甚至等於0，捨去。分母則不考慮，就是下面的算式了。如果 q > 1，那根本不存在公式！因為 q 的若干次方將會非常非常非常大，就不會有解了。




下面是比較常用的一個無窮等比數列求和公式：





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