小學數列求和計算題中關於等比數列相關知識及公式運用講解

2021-01-09 初中數學解題視頻

等比數列定義：

如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等於一個常數（不為0），那麼，這個數列就叫做等比數列。

這個常數叫做等比數列的公比。

來看下面這道題：

【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。

通過觀察，會發現這個數列的後一項比上前一項都是2。

2÷1=2；

4÷2=2；

8÷4=2；

……

1024÷512=2。

所以這個題目就是典型的等比數列求和題，

公比是2。

例1中，如果拿筆硬算會十分麻煩，而且容易出錯。

在這裡G老師分享一個計算等比數列求和題目時經常用到的一個方法。

錯位相減法

令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，

G老師讓A這個式子再乘以數列的公比，

會得到什麼呢？

2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，

這樣我們構造出了一個新數列，

而且這個數列的和等於原數列乘以公比。

再將兩個式子相減，

G老師手寫

左邊是2A-A=A；

右邊是2048-1；

等式右邊其餘的項都已經抵消了。

這樣我們就得出結果了，

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047

再來看看下面這道題

【例2】計算3+9+27+81+243+729+2187

分析：這題是等比數列求和，公比是3，共有7項。採用錯位相減法，讓等式乘以它的公比。

令A=3+9+27+81+243+729+2187；

則 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；

兩式相減，

3A-A=2A=6561-3

2A=6558

A=6558÷2=3279

所以，

3+9+27+81+243+729+2187=3279

總結一下，等比數列的一般規律。

等比數列中，

公比=後一項÷前一項；

末項的值=首項x公比的(n-1)次方（n代表項數）。

注意：公比的(n-1)次方=(n-1)個公比相乘

如【例2】中，末項是2187，首項是3，項數n=7。

2187=3x3^(7-1)

等比數列的和=(末項x公比-首項)÷(公比-1)

（由錯位相減法得出）

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