等比數列求和公式,錯位相減法在小學奧數裡的應用

2021-01-14 瀋陽奧數

點擊上方藍字（瀋陽奧數）可以關注我們。

今天說一下等比數列的求和公式和錯位相減法，然後用一道育才少兒班的真題介紹一下它的應用。等比數列其實是高中的知識，但是小學奧數中卻經常涉及到(還有排列組合等等)，雖然不是必須掌握的，但是小學階段也可以借鑑它的證明方法。

等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等於同一個常數的一種數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列A1≠0。

例如1,2,4,8,16,32,64,128...
根據定義，它的通項公式是 An=A₁qⁿ⁻¹

等比數列的求和公式，可以用錯位相減法推導出來。錯位相減法是數列求和的一種解題方法，下面我們來看一下。

對於等比數列A1,A2,A3,...,An(公比是q)

①Sn=A1+A2 +A3 +...+An
②Sn×q = A1q+A2q+...+A(n-1)q+Anq = A2+A3+...+An+Anq

以上兩式相減①-②得(1-q)*Sn=A1-An*q
Sn=(A1-An*q)/(1-q)=A1(1-qⁿ)/(1-q)

利用等比數列的定義，通過兩邊乘以公比，然後作差消去中間項，得到它的求和公式。

下面看看它在小學奧數裡的應用，一道育才少兒班的真題

題目:如果我們將1/2+1/2²+1/2³+...的值記為1，那麼1/3+1/3²+1/3³+...的值是多少。

這兩個算式都是等比數列求和，它們的公比分別是1/2與1/3。如果我們知道等比數列的求和公式，直接利用Sn=A1(1-qⁿ)/(1-q)

所求=1/3 (1-(1/3)ⁿ)/(1-1/3)=1/2

注意當n無窮大時，(1/3)ⁿ=0

如果沒有記住公式，可以直接用錯位相減法

①Sn=1/3+1/9 +1/27+...+1/3ⁿ
②Sn/3=1/9 +1/27+1/81+...+1/3ⁿ+1/3^(n+1)

以上兩式相減①-②得(1-1/3)Sn=1/3-1/3^(n+1)

當n無窮大時，1/3^(n+1)=0

所以解得Sn=1/2

如果以上方法都不會，可以用下面方法畫個圖理解一下，大概就能知道值是多少了。(圖中的顏色分別代表整個圖形的1/3，1/9，1/27，1/81...)，可見它越來越接近整個圖形的一半，即1/2。

題中給的1/2+1/2²+1/2³+...如果用圖表示，會逐漸填滿整個圖形，有興趣的同學可以自己試一下。

右下點在看，右上點【···】分享，就是您最好的支持。

往期精彩：育才少兒班專輯

相關焦點

  • 高中數學等比數列求和公式拓展小技巧
    高中數學必修5----等比數列的求和公式拓展，等比數列求和公式原型是這樣的【點撥】等比數列的求和公式可以理解為指數函數的係數和常數項互為相反數
  • 小學數列求和計算題中關於等比數列相關知識及公式運用講解
    等比數列定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等於一個常數（不為0），那麼，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比。通過觀察，會發現這個數列的後一項比上前一項都是2。2÷1=2；4÷2=2；8÷4=2；……1024÷512=2。所以這個題目就是典型的等比數列求和題，公比是2。例1中，如果拿筆硬算會十分麻煩，而且容易出錯。
  • 【教學研究】等比數列求和公式可以這樣生成
    文章背景：       等比數列求和公式並不複雜，但是其推導過程——錯位相減法——構思精巧、形式奇特，它很難由學生探究而得到。歐幾裡得在《幾何原本》中就給出了等比數列前n項和公式，而錯位相減法則直到1822 年才由歐拉在《代數學基礎》中給出，時間相差兩千多年（——以上史料由貴州習水一中陳飛老師向我提供，在此真誠致謝！）
  • 等比數列解題技巧—基礎知識篇
    今天開始，逐步和大家分享等比數列的解題技巧。一、等比數列的有關概念1、等比數列的定義：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等於一個常數（不為0），那麼這個數列就叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用q來表示。定義可以用公式表達為：a(n+1)/an=q(式中n為正整數，q為常數）。
  • 高考數學每日答疑12:數列SA法+構造新數列+數列求和
    今天解答高三同學所提問題：數列SA法1.SA法在什麼情況下使用，當已知前n項和求通項公式時，我們採用，同學們容易誤解式子的意圖，猶如本題的求和。數列求和方法1.公式法：用於求等差數列和等比數列的前n項和；2.裂項相消法：用於分式求和；3.錯位相減法：用於求等差數列×等比數列的和；2.分組求和：用於多種形式相加減。
  • 高中數學數列求和常見公式歸納總結
    連續自然數求和相鄰自然數之間的差值為1，所以，連續自然數實際也屬於等差數列。故：1+2+3+4+……+n = n(n+1)/24.金字塔數列1+2+3+……+ (n-1) +n + (n-1) + …… + 3 + 2 + 1 = n×n實質可以根據上面連續自然數求和的公式推導出來，如下：1+2+3+……+ (n-1) +n + (n-1) + …… + 3 + 2 +
  • 等比數列解題技巧—實戰篇
    題型四、等比數列的性質無論是等比數列還是等差數列，在考查性質時都要特別留意各項腳標之間的關係，而且要把等差數列和等比數列的性質區分開，不要搞混淆了。等差數列是將兩項求和，等比數列是將兩項求積。分析：等比數列的性質可以類比等差數列來學習，這樣能夠有效地防止將兩個數列的性質搞混淆。
  • 衝刺2019年高考數學,典型例題分析32:與等比數列有關的解答題
    已知數列{an}中，a1=2，且2an=an-1+1（n≥2，n∈N+）．（I）求證：數列{an﹣1}是等比數列，並求出數列{an}的通項公式；（Ⅱ）設bn=n（an﹣1），數列{bn}的前n項和為Sn，求證：1≤Sn＜4．
  • 決戰高考數學黃金三十天:第26天數列求和方法技巧總結
    求數列的前n項和的主要方法有：1.直接公式法:對於等差數列或等比數列可用公式法.2.裂項相消法:將數列的每一項分解為兩項的差,逐一累加相消.3.錯位相減法:若{an}為等差數列,{bn}為等比數列,則對於數列{anbn}的前n項和可用錯位相減法4.倒序相加法:如等差數列前n項和公式的推導用的就是該法5.分組分解法:將原數列分解成可用公式法求和的若干個數列下面是常用的裂項公式，記住這些常用的公式，可以提高解題的速度。
  • 多項式與等比數列乘積的前n項和的求解思路
    上篇文章中講到，等差數列和等比數列的通項公式，並分別推導了其前n項和公式。等差數列前n項和公式的推導用到了倒序相加法，等比數列前n項和公式用到了錯位相減法。雖然這兩種數列是最簡單、最基礎的數列，但從其前n項和的推導過程中，我們能夠學習和借鑑到其中的方法，下面我將演示利用錯位相減法求解更複雜的數列的前n項和。複雜數列構造及求解例如，定義這樣一種數列c，它的通項公式可寫成等差數列第n項和等比數列第n項乘積的形式。我們如何求解數列c的前n項和表達式？
  • 教學研討|2.5 等比數列的前n項和
    設計思路如下：四、教學目標1、掌握等比數列的前n項和公式，能用等比數列的前n項和公式解決相關問題。2、通過等比數列的前n項和公式的推導過程，體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。3、通過對等比數列的學習，發展數學應用意識，逐步認識數學的科學價值、應用價值，發展數學的理性思維。
  • 高考數學解題能力提升專題講解:如何解數列求和問題
    解：（Ⅰ）當n=1時，a1=S1=﹣5，當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣7，又∵當n=1時滿足上式，∴an=2n﹣7；∵bn+1=3bn，b2=3，∴數列{bn}為等比數列，故其通項公式bn=b23n﹣
  • 高中數學:求數列前n項和的7種方法
    求數列的前n項和要藉助於通項公式，即先有通項公式，再在分析數列通項公式的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數列的特點和規律，找到適合的方法解題。二、用公式法求數列的前n項和對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用範圍，確定公式適用於這個數列之後，再計算。
  • 高二數學 | 圖說等比數列求和公式
    那麼，很開心，總結一下規律就會發現，此數列的前n項等於1減去最後一項即可，於是很漂亮滴得出：那麼，問題來了，其他的等比數列也是如此嗎，當然不一定，比如同樣以1為首項，2為公比的等比數列求和就不盡相同呢，那麼該如何找到通呢，且讓我們回歸到等比數列的實質，也就是它的最基本形式上去。
  • 吳國平:學會運用數學思想攻克等比數列相關知識內容
    昨天我們講了等差數列及其前n項和的相關知識內容，那麼今天我們就繼續講解數列另一塊重要知識內容，也就是等比數列及其前n項的和。等比數列可以說是數列的核心內容，自然也是高考必考的知識點之一。在高考數學中，跟等比數列相關的主要考點有：等比數列的基本運算與通項公式；等比數列的性質；等比數列的前n項和；等比數列的綜合應用等等。
  • 一分鐘數學——等比數列求和
    等比數列求和什麼是等比數列？
  • 【名題賞析】1.2 等比級數求和公式
    沒有接觸過級數的同學請從頭看起：【名題賞析】1.1 等比級數是什麼？錯位相消法上節說到，等比級數的和是其所有項的和，但級數有無窮項，如何求和？為了解決這個問題，先回到有限項等比數列的求和方法。下面舉一個分數加減法中很常見的例子，請計算：
  • 吳國平:高考數學必考難點-數列求和的幾種方法
    解決數列求和的方法，我們可以從以下兩個方面入手。一是一般的數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然後通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和。二是解決非等差、等比數列的求和，主要有兩種思路：1、轉化的思想，即將一般數列設法轉化為等差或等比數列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成。
  • 競賽(或高考):用待定係數法求數列的通項公式和前n項和
    昨天我們談了數列問題中可以代替錯位相減法的兩種方法，其中我們談到待定係數法在數列問題中應用廣泛，今天我們深入的介紹幾種可以用待定係數法處理的數列特徵首先介紹幾個有關數列的概念顯然我們對這個概念並不陌生，初中時一些找規律的問題中，經常用相鄰兩項做減法，有時還要在所得數列的基礎上進一步做減法
  • 高中數學,數列解題技巧,超全考點+例題+解析,吃透從此不懵b
    高考數列模塊曾經是高考的難點，並且很難。隨著高考出題變化，當下數列部分應該是得分點，一般主觀題一道，解答題一道，分值有點高喲，但難度降低了許多，所以說數列變得簡單了，但是很多童鞋學習起來還是有些困難。那我們可以關注以下幾點：①定義，特別是等差等比數列定義，往往大題第一問考這個類型。抓住定義就行。②數列求和。公式法(等差等比求和公式)。分組求和(分組後用公式，各組用不同的方法)。倒序相加法。錯位相減法。