同樣是剪指甲，數學家竟然剪出了「真金白銀」

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「黃金比例」是一個我們已經習以為常的概念，關於它的故事我們已經聽得很多了，然而數學家們還想到一個新奇的角度——從「剪指甲」開始，竟然也能剪出「黃金比例」來，不光如此，還有其他所謂的「金屬數字」。由此引出了一系列有趣的性質。

這篇文章將會向您講述一個優美的幾何問題，並由此延伸到一類特殊的數字：由著名的黃金比例推廣而來的金屬數字。

黃金比例來源於下面的幾何問題：給定一條線，將其分成一條長線段和一條短線段，使得整條線段的長度和長線段之比等於長線段和短線段之比。

令(A+B)/A=A/B

我們把長線段命名為A，短線段為B，取(A+B)/A=A/B，這樣就得到了黃金比例：

我們也可以嘗試將原始線段分成n段較長的線段（都稱為A）和一段長度較短的線段（成為B）。仍然要保證整條線段與A的長度之比等於A與B的比。這個問題中的數字我們稱之為金屬數字，我們叫它λ_n。對於所有的自然數n≥1，λ_n滿足：

黃金比例對應λ₁，那麼對於n=2，我們以此類推，把它叫做白銀比例，

像這樣分割線段，其中就包含了白銀比例

事不宜遲，現在我們就來看看與金屬數字有著有趣的聯繫的幾何問題吧！它的出發點十分簡單，一切從剪指甲說起……

指甲問題

假設你現在要剪指甲，指甲刀找不到了，只有一把能剪直線的剪刀。你能通過不斷剪直線，剪出圓潤光滑的、更短的指甲嗎？

為了分析這個問題，我們先來做一些簡單的假設。我們可以用一個半圓來近似表示指甲的形狀。為了方便，設半圓的半徑為1。

一個半徑為1的半圓

對於剪指甲，我們需要一個直截了當的方法。我們要先將圓剪成一個等邊三角形，像這樣：

我們將底邊叫做基準邊。除了基準邊外的每條邊，我們將他們叫做外露邊，它們的長度都相同。由勾股定理，此時外露邊的長度是，之後每一步都剪去一個角，於是這個形狀有了更多的外露邊，且每條長度都相等：

剪指甲的步驟。由上到下依次為：2條外露邊，1個外露頂點；3條外露邊，2個外露頂點；4條外露邊，3個外露頂點；5條外露邊，4個外露頂點；6條外露邊，5個外露頂點；（無限增加）

我們所剪出的形狀實際上是正多邊形的一部分。剪的次數越多，對應的正多邊形的邊數就越多。如果我們有無限多的時間，就可以一直剪下去，多邊形的邊數就會趨近無窮大。事實證明就像下面要講的完整圓問題一樣，這樣做下去最終會形成一個圓弧。

給一個正多邊形添加更多的邊，就會越來越逼近一個圓

白銀比例

新剪出來的指甲比原來的短多少呢？要算出這個量，首先要知道描述指甲形狀的那個圓（我們稱作圓O），是由哪些特徵來定義的。首先我們注意到，三角形基準邊的兩個端點（在下圖中用紅點標註），這兩點是在最終的圓上的。這是因為在我們的操作中，這兩個點從未被剪掉。等腰三角形的兩個外露邊是最終形成的圓的切線。

基準邊的終點是圓O上的點，兩條外露邊是在這些點處與圓相切的

我們知道，在圓上一點處，切線與半徑是互相垂直的。因此我們得到了圓O的兩條半徑，在下方的圖中用綠線表示。

綠線是圓O的半徑

根據圖中的對稱性，你會更加確信兩條半徑與剛開始的等腰三角形的兩條外露邊具有同樣的長度，也就是。並且，兩條半徑恰好在原始圓的「南極」相交。當然了，圓O的兩條半徑相交於圓O的圓心。所以我們知道了圓O的圓心就是初始圓形的南極，且圓O的半徑是。

現在我們從原始三角形的基準線出發來測量高度。原始的指甲在基準線以上的高度是1（初始圓的半徑）。

指甲在剪過之後，高度變成原來的多少倍

我們可以很容易地看到新指甲的長度是-1。現在我們有

就像上面提到的一樣，這個數字被稱作白銀比例λ₂，上面的式子反映了這樣一個事實：

但除此之外還有更多有意思的東西……

圓的家族

在我們上面的的問題中，第二個圓的圓心是在第一個圓的南極處，並且半徑擴大了倍。由此我們還可以構造第三個圓：圓心是第二個圓的南極，半徑是第二個圓的半徑乘上。同樣地，我們可以由第三個圓畫出第四個，以此類推，畫出一個無限的圓家族。在這個家族中，後一個圓的半徑大小總是前一個圓的倍，且圓心在上一個圓的南極處。

一個圓的家族

這一系列圓之間的交點也延伸出了一個有趣的性質。這些交點分布於兩條直線上，我們把這些直線叫做交點直線。

交點直線如圖所示，其中y軸的截距正是白銀比例

其實，這兩條線中也蘊含了白銀比例。他們在y軸上的交點坐標是(0,λ₂)。（你可以自己試著算一下。這裡給出一個證明）

我們討論指甲問題時，到處都有白銀比例的身影。如果你算一下，你會發現這似乎取決於下面這個式子：

更多的金屬數字

上面我們用一種方式構造了一系列圓。若是將這種方式推廣，我們就可以通過構造圓來得到所有其他的金屬數字。我們把這個比例叫做A。上面的結構中，A=，這是與下式的白銀比例相聯繫的：

那麼，如果對於任意其他自然數n，我們用類比的方法，令這個比例等於A_n=λ_n-(n-1)，會產生什麼樣的結果呢？

同樣，從一個半徑為1，圓心位於(0,0)的圓開始構建圓的家族。第二個圓的圓心落在第一個圓的南極位置，即(0,-1)，它的半徑是A_n。第一個圓的最高點到x軸的距離與第二個圓最高點到x軸的距離的比值是：

上文我們用兩個圓弧代表了指甲的形狀，這裡正是上文結果的一個類比。

兩個圓x軸以上部分的高度之比

那麼交點直線呢？可以證明，對於A=λ_n-(n-1)，兩條交點直線會相交在y軸的(0, λ_n)點處。

下面的這個交互小程序可以讓你嘗試各種不同大小的比值A。小程序裡點擊右側區域上方的雙箭頭，可以隱藏左邊的區域，方便看到圖的更多部分。為了幫您找到對應於金屬數字的值，頭四個是：

作者：Gokul Rajiv Yong Zheng Yew

翻譯：xux

審校：Dannis

原文連結：

https://plus.maths.org/content/fingernail-problem-and-metallic-numbers

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編輯：Dannis