本期咱們繼續聊量子態的製備問題。
前三期我們分享了Grover和Rudolph提出的製備量子態的方法[1]和Michele Mosca和Phillip Kaye在同期提出的製備量子態的量子線路研究[2]的背景及應用。
本期繼續解讀文獻[2]中製備量子態的量子線路設計。
我們的目標是構建n量子比特的量子態|Ψ>，如下所示。
文獻[2]通過依次執行n個受控旋轉門實現，其中第k個旋轉門通過前k-1個量子比特來控制。
首先將量子態|Ψ>的基態寫成二進位的形式，其中每一位用x_k表示。擴展α_x的定義：即x的比特數為j，範圍在[1,n)區間。通過下圖所示，我們可以得到前k-1個比特為|x1x2...x(k-1)>，且第k個比特為|0>的條件概率。
此時，定義受控酉算子，如上圖底部的公式所示。
產生n比特量子態|Ψ>的量子算法可以通過下圖所示，需要n個受控旋轉操作。
圖片來源：文獻[1]的圖1
通過歸納法可知，執行了j個受控旋轉操作後，可以得到量子態：
則經過n個受控旋轉之後，可以得到我們想要的n比特量子態|Ψ>：
為了更清楚的表達受控旋轉操作是如何實現的，小編將文獻[2]中的圖1和圖2進行了合併，合併之後的線路如下圖所示。
首先假設有一個量子寄存器編碼了關於量子態|Ψ>的一些「經典」描述。這個量子態必須包含足夠的信息讓我們能夠有效的計算（或者上圖中所示的）。同樣我們採用了一個輔助量子寄存器（如上圖第二行所示的寄存器，初值為|0>，用來存儲中間結果），其量子比特數為O[log(1/ϵ)]。
此時，定義Uk算子如下：
其中，ωk滿足：
注意，這裡作者沒有給出Uk的實現方式，即並未給出ωk的計算方法，大家可以發散的思考，這個值應該怎麼來計算？
我們繼續看上圖。每一個藍色方框所標註的線路就是一個受控旋轉操作的具體實現線路。這裡定義：
一次受控旋轉操作的實現（即一個藍色方框所標註的線路實現）可以通過下圖的推導得到驗證：
除了上述推導過程，小編在這裡還設計了c-Sw的量子線路（作者僅說明該實現可參考文獻[3]中的方法，但未給出具體的實現方式），下圖是詳細的c-Sw的線路設計及相關推導過程。
這兩期小編主要解讀了Mosca關於製備量子態的線路實現，並在此基礎上進行了較為詳細的展開討論，即給出了c-Sw的量子線路設計。該方法雖然並不能有效的用於製備所有的量子態，但是對一類量子態的製備是有效的，即我們能夠有效的計算出條件概率
下周一是12月31日
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參考文獻：
[1] Grover, L., Rudolph, T. Creating superpositions that correspond to efficiently integrable probability distributions (2002), quant-ph/0208112.
[2] Michele Mosca, Phillip Kaye. Quantum Networks for Generating Arbitrary Quantum States[J]. 2004:28. http://cn.arxiv.org/abs/quant-ph/0407102.
[3] Richard Cleve, Artur Ekert, Chiara Macchiavello, Michele Mosca. 「Quantum Algorithms Revisited」 Proceedings of the Royal Society of London A, 454, 339-354, 1998. On the quant-ph archive, report no. 9708016.
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