導數與微分

【案例1】 設某商品從現在起的第t天出售可獲利最大，且t與該商品質量的增長速度r(千克/天)及降價速度p(元/天)有關係．按估計，從現在起該商品的質量每天會增長2千克，價格則每天減少0.1元．(1)按估計，求商品獲利最大的出售時機；(2)如果商品質量的變化速度r是準確的，即(千克/天)，請分析當p有誤差時對t的影響(t對p的敏感度)；(3)如果商品售價的變化速度p是準確的，即(元/天)，請分析t對r的敏感度．

一、導數定義

1.函數在點x0處的導數

         

2.函數的導數  

                

3.按定義求導數

例1. 按定義，求下列基本初等函數的導數：

               ;

                        

;                             .

                           

例2. 求下列函數的導數：

4.導數的幾何意義

5.可導與連續的關係

實訓3.1

實訓3.1

實訓3.1題解

二、導數的運算法則

1.四則運算求導法則

例5.求下列函數的導數：

例6.求下列函數的導數：

                    

                  

例7.求下列函數在指定點的導數：

2.複合運算求導法則

例8. 求下列函數的導數：

                      

                     

                

                     

例9. 求下列函數的導數：

                

                       

                      

                     

例10. 求下列函數的導數：

    

         

                 

例11. 求下列函數的導數：

          

                 

3.反函數求導法則

例12. 應用反函數求導法求下列函數的導數：

                    

              

實訓3.2

實訓3.2題解

三、三種特別的求導法

1.隱函數求導法

例14. 求下列隱函數求在給定點的導數：

       

2.對數求導法

例15. 求下列函數的導數：

3.參數方程求導法

實訓3.3

實訓3.3題解

四、高階導數

例17. 求下列函數的指定階導數：

         

              

例18. 求下列函數的n階導數：

               

實訓3.4

實訓3.4題解

五、微分

1.微分的概念

例19.設正方形的邊長x0=1，求(1)邊長增量為Δx=0.01時面積的改變量 ΔA及其微分dA ；(2)寫出ΔA與dA的關係．

例20. 求下列函數的微分：

         

2.微分的運算法則

例21. 求下列函數的微分：

         

3.微分的應用

例23.一個直徑為10cm的鋼球，球殼的厚度為0.1mm，試求球殼體積的近似值．

實訓3.5

實訓3.5題解

六、邊際與彈性

1.邊際  經濟函數的變化率，即導數.

例24.設生產某種產品的總成本為 (元)， q為產量，試求(1)邊際成本；(2)當q=100時的邊際成本(並說明其經濟意義)．

例25.設某產品的總成本函數是： ，試求：

(1)產量 個單位時的總成本；(2)產量 個單位時平均成本；(3)產量 個單位增到 個單位的平均成本；(4)產量 個單位及 個單位時的邊際成本，並說明其經濟意義.

例26.設某產品的收入函數為R(q)=200q-0.01q²(元)，q為銷售量，試求(1)邊際收入函數；(2)當q=8000，10000，12000時的邊際收入.

例27.設某產品價格p是銷售量q的函數p=90-3q，求邊際收入函數和當q=10時的邊際收入.

例28.設某廠生產某種產品的總成本函數為C(q)=5000+20q，其收入函數為R(q)=80q-0.1q².試求(1)邊際利潤；(2)當產量q=150，q=400時的邊際利潤，並說明其經濟意義. 

2.彈性  函數的相對變化率，即平均變化率的倒數與變化率的積.

例29.設某商品的需求函數為，試求(1)需求彈性；(2)當p=3，p=10時的需求彈性．

例30．設某商品的需求函數，求(1)價格為100時的需求彈性；(2)這時，如果希望降低10%的銷量，如何定價？

案例2.某供電公司對某鋼鐵公司的每天用電意願需求情況調查如表1-4(見第1章總實訓)，利用Mathematica進行擬合，得到價格與需求的關係為

  

(Q為鋼鐵公司每天的用電量，單位：萬kwh，p為電價，單位：元/kwh)．設供電公司每kwh電的可變成本是0.15元，給鋼鐵公司供電投入的固定成本為80萬元/天．求(1)供電公司每天對鋼鐵公司供電的總成本函數及邊際成本；(2)鋼鐵公司每天的需求函數和需求彈性；(3)供電公司每天對鋼鐵公司供電的收入函數，利潤函數，邊際收入和邊際利潤；(4)假設供電公司給鋼鐵公司的電價為0.5元/kwh，請根據需求彈性分析供電價格的變化對供電公司給鋼鐵公司供電每天的收入和利潤的影響．

實訓3.6

實訓3.6題解

總實訓3

總實訓3題解