假定我們並不知道圓面積的計算公式和三角形面積計算公式，現在需要通過有限元方法給出半徑為R的圓的面積計算公式。中國古代的祖衝之就已經知道了通過割圓法計算圓周率和圓面積，其基本思想非常簡單，如下圖所示
顯然當把圓用足夠多個三角形去近似的時候，這些三角形的總面積將趨近於圓的總面積。當採用了無窮多的三角形時，這個結果將等於圓面積的精確解。但是剖分成無窮多是不可能的，所以只能用有限個三角形的面積去近似圓面積。這裡如果把三角形看成是有限元中的單元，那麼有限多個三角形就構成了有限多個單元。如果把這些單元看成是只有一個節點，那麼這個節點的值可以認為是所屬的三角形單元的面積。注意，這裡並不是真實存在著節點。在力學問題中，由於要保證結構的連續性，所以節點往往是單元之間所共有的點，這裡暫不做討論。而最後節點值的累加過程，就相當於是有限單元法中單元拼裝成總體剛度矩陣並加以求解的過程。
講到這裡，也許你會對有限元法不屑一顧，連祖衝之都知道怎麼玩，只不過他不知道有限元的名詞而已。真的那麼簡單嗎？恐怕不是。為什麼？別忘了我們前面說過，假定我們小學沒畢業，不知道三角形的面積怎麼算。但是我們又懂得一些多項式的微積分。這個聽起來好像很怪，但是為了說明問題，也只能如此了。
這個過程就是把微分方程通過構造誤差函數，並通過Galerkin方法使其成為一個積分方程，在積分方程中用比較簡單的函數形式，通常是多項式去近似一個未知的函數。當然這都是在單元層面的。單元層面得到了相關的結果表達式，通常在力學中是位移，然後通過整體拼裝，就可以進行求解，在這裡的拼裝比較簡單，就是一個面積的累加而已。
這篇文章是需要一定的數學基礎的。如果你不是那麼擅長數學，其實也不要緊。這篇日誌的前半部分基本講的是有限元的近似思想，也就是用有限個具有共性的單元來組合求解。至於後面一部分，其實做工程應用的不用理會，因為這些東西都在有限元軟體中集成進去了，你大可不必去深究。
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