神奇的數學之希爾伯特旅館悖論,對「無限」的極限使用

這世上最單純的學科是什麼，是數學，它從不變化。

這世上最簡單的學科是什麼，是數學，它的描述總是極度簡單。

這世上最重要的複雜的學科是什麼，也是數學，多少難題求而不得。數學是人類最強大的法寶，是打開一切秘密之門的鑰匙，是最終極的學科，科學改變世界，數學顛覆科學。今天小編就和大家聊聊一個非常著名的數學悖論，名叫「希爾伯特旅館悖論」。描述過程可能會比較繞，希望大家仔細閱讀，理清楚邏輯。

19世紀20年代，德國有位數學家名叫大衛希爾伯特，這是一位不安分的主，設計了這個著名的思想實驗，所以用他的名字命名。「希爾伯特旅館悖論」這個思想實驗是為了向我們展示並且讓我們理解數學上的「無限」這一概念。

我們想像一下有一個旅館，名叫無限旅館，這個旅館裡有無數的房間，以及一個非常聰明並且勤勞的大堂經理。一天晚上，無限旅館住滿了客人，無限多的旅客把旅館訂滿了。這時候，一個人走進旅館，需要一個房間住，那把這個客人安排在哪呢？因為無限個房間已經住了無限個客人啊？聰明的大堂經理靈機一動，就請求1號房的客人搬到了2號房，讓原先2號房的客人搬到了3號房，就這樣以此類推，原先n號房的客人都搬到n＋1號房間去了。這樣就空出了1號房間給新來的客人

1.每次住進來一個客人

這一換房間過程是可以進行無限次的，因為我們的房間數是無限的，所以只要重複這一操作就可以保證每次都空出1號房間給新進來的客人。假如說就在此刻，又有一輛觀光巴士載來了30個客人，每個客人此刻各需要一個房間，那麼，只需要現有的客人都從n號房搬到n＋30號房即可，比如你要是住在66號房間，聽大堂經理的安排搬到96號房間即可。這樣，1-30號房間就空出來了，這30位新客人就也都有房間了。

2.來了一輛坐了無數旅客的無限大巴

安排完上面30個旅客後，大堂經理剛送一口氣，門口就來了一輛容量無限大的大巴車，裡面裝有無限多的旅客，每個旅客都需要定一個房間。那這時大堂經理又該怎麼安排呢？這時候大堂經理靈機一動，他讓1號房的客人搬到了2號房，讓原先2號房的客人搬到了4號房，以此類推，讓原先n號房的客人都搬到2n號房間裡去。就這樣，現在現有的無限個客人佔據了無限的偶數號房間，這樣一來，就空出了無限的奇數號房間，無限大巴上的無限個客人就都有房間了。

每個人都有房間了，大堂經理高興了，旅館也掙錢了，升職加薪不再是夢想了。可是，更加可怕的事來了。好事不出門，壞事傳千裡，無限旅館的傳言擴散了出去，人們從各地跑來這個旅館過夜。

3.無限輛大巴分別載著無限個客人

一天晚上，可怕的事發生了，大堂經理開門一看，門口無數的大巴排起了看不到尾的長龍，並且一打聽，才知道每一輛大巴上面都載著無限的客人。現在這位大堂經理該怎麼辦，如果他不能滿足這些客人的客房需求，那肯定是要被炒魷魚的。

這位大堂經理不愧是學霸，他想起了上學時學過的一個歷史故事，大約公元前300年的時候，歐幾裡得證明了質數是無限的這一定理。這個小編也在前面的文章裡說過，感興趣的同學可以關注小編去主頁尋找哦！

1000以內質數

於是根據質數無限的原理，他為這個幾乎不可能完成的任務找到了最優解。那大堂經理是怎麼安排無限輛大巴裡的無限個旅客的呢？大堂經理安排每一位已經入住的旅客搬到了一個特別的房間號，這個房間號是一個以2為底，以他們現有的房間號為冪次方的數字。第n號房的旅客搬到第2的n次方號房間去，比如原先4號房的旅客就搬到了16號房（2的4次方等於16），原先10號房的旅客就搬到了1024號房（2的10次方等於1024）。

安排了現有無限個旅客後，大堂經理開始安排第一輛無限大巴的無限個旅客，這輛車上的旅客全部安排到以下一個質數3為底數，以他們下大巴的順序數為冪次方的房間中去，比如2個下大巴的旅客就安排到9號房間號（3的2次方等於9），第4位下車的旅客就安排到81號房間（3得4次方等於81）。以此類推，第n個下車的旅客安排到3的n次方號房間去。這樣，第一輛無限大巴上的無限個旅客就安排好了。

接著安排第二輛無限大巴上的旅客，全部安排到以第三個質數5為底，以他們下大巴的順序數為冪次方的房間中去。以此類推，第三輛巴士安排7的冪次方號房間，第4輛巴士安排11的冪次方號房間。接下來每一輛車都這麼安排，第n輛大巴上第n個下來的旅客就安排到第以n＋1個質數為底，以n為次方的房間中去。這樣所有的巴士上所有的乘客就都安排好了。

有人或許就要問了，這樣不會出現有人住在同一房間嗎？告訴你，不會，這樣安排每個人的房間號都是獨一無二的，並且1號房沒有人住，大堂經理安排完了還可以進去休息一下。大堂經理一開始利用了自然數是無限的，每一個數乘以2也還是一個自然數。然後又利用了奇數和偶數都是無限的，然後又利用了質數的數量是無限的，且不同質數的冪次方是不相等的，這樣下來，每一個人都有了一個獨一無二的房間號，而且任意一位客人的房間號都可以計算出來。

儘管如此，還是有很多空房間是沒有住人的，1號房大堂經理去休息了，6號房間也是空的，因為沒有任何一個質數的冪次方是1或者6。

大堂經理的安排方法是聰明可行的，並且是唯一的，無限旅館絕對是邏輯控的噩夢。講到這裡我們就不深入的說下去了，因為到後面越來越難，已經是只可意會不可言傳的地步了。至少小編是沒有水平用文字敘述的，希望專業的朋友們諒解。

這就是神奇的數學，這就是我們人類的數學，真的太變態了，可能有很多朋友看不懂，沒關係，凡事但當涉獵，不求甚解嘛！

今天的介紹就到這裡了，接下來小編想寫一篇關於如何用數學證明神的存在的探討性文章，因為做科普久了，發現很多偉大的科學家最後都跑去研究神了，比如牛頓，比如愛因斯坦都去研究神了，真的是不可思議啊，感興趣的朋友記得關注，小編會認真寫的。