古希臘聯軍第一勇士阿基裡斯永遠也追不上一隻烏龜，這是為什麼呢？公元前495年，古希臘傳說中有一位跑得最快的英雄阿基裡斯，希臘聯軍第一勇士，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基裡斯出生後，忒提斯捏著他的腳踝將他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀槍不入，唯有腳踝被忒提斯手握著，沒有浸到冥河水，這是他唯一的弱點。在特洛伊戰爭中他被敵人射中腳踝而死。
有一天，阿基裡斯遇到了一隻烏龜。烏龜對阿基裡斯說：「別看你跑得快，你永遠也追不上我。」 阿基裡斯不相信的問：「為什麼呢？」烏龜向他解釋道：開始比賽時，阿基裡斯在後方A處，烏龜在前方B處，二者同時起跑。阿基裡斯要追上烏龜，首先要追上烏龜先跑的一段路程AB，但是在這段時間烏龜也在向前跑，當阿基裡斯到達B處時，烏龜已經跑到了C處，還沒有追上。雖然此時BC的距離小於AB的距離。阿基裡斯會繼續跑BC這一段，但是這段時間烏龜也沒閒著啊，跑到了D處，雖然CD小於BC，但是阿基裡斯還是沒有追上烏龜。以此類推，阿基裡斯和烏龜之間的距離只能不斷縮小，但是永遠都不會變為零。所以，阿基裡斯就永遠追不上烏龜啦。
這就是著名芝諾悖論。所謂悖論，一般是指同一個命題中有兩個對立相反的結論。 有的人嗤之以鼻，這是謬論！悖論本來指的就是推理的結論與常識相矛盾，卻不能發現邏輯上的漏洞。同樣似是而非的東西，如果一眼就能看得穿，不需要什麼腦筋，叫「胡攪蠻纏」。如果讓人反覆思考仍不得其解，那就上了檔次，叫「悖論」。悖論的價值在於促進人們思考。它的解決往往帶來的觀念的突破和新的理論建立。
而芝諾對於阿基裡斯追烏龜問題的解釋不是推出對立的結論，而是完全違背常理，其實稱為詭辯更加合適。 這個詭辯錯在哪？要推翻這個詭辯其實也不難。芝諾將一個追及過程分割成無限多份，並且認為：既然段數無窮多，累加起來的時間自然也是無窮長，所以追不上。但是實際上，由於阿基裡斯速度大，烏龜速度小，兩人之間的距離會越來越短。如果阿基裡斯追了無窮多段，下次再追及的距離就是無窮小。這就是無窮小到底是不是0的問題。也就是第二次數學危機的核心問題。
據此古希臘哲學家芝諾（Zeno）提出了一系列關於運動不可分性的哲學悖論，二分法悖論就是其中之一。直到19世紀末，數學家們才為無限過程的問題給出了形式化的描述，類似於0.999……等於1的情境。那麼究竟我們是如何到達目的地的呢？二分法悖論只是空谷傳音般放大了問題。若想妥善解決這個問題，還得靠物質、時間和空間是否無限可分等等這些20世紀的衍生理論。
芝諾比孔子略遲，比莊子要早。莊子曰：「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」 說的就是一根一尺長的木棍，每天砍掉它的一半，無論經過多久都砍不光。的確，我們可以把木棍分割成越來越短的無限多份，但是加起來依然是一根木棍那麼長，這與芝諾悖論多麼相似！
今天所有學過高等數學的讀者也許都能看出二分悖論的誤區，那就是將一個無窮級數的項數無窮與結果無窮混為一談了。在適當的單位下，二分悖論所涉及的無窮級數是1/2＋1/4＋…，項數是無窮的，結果卻並不因項數無窮就成為無窮，而僅僅是1，是有限的。因此無論是那無窮多個中點，還是兩兩之間那無窮多段路徑，都能在有限時間內走完。
當然，二分悖論並不是等到高等數學出現之後才被反駁的。在歷史上，亞里斯多德在《物理學》一書中就給出了一個很漂亮的反駁，要點是指出芝諾只對空間進行了無窮分割，卻忘記了同樣的手法也可用於時間。只要對時間和空間作同樣的無窮分割，走完芝諾分割出的無窮多個中點（或兩兩之間的無窮多段路徑）就只需有限的時間，因為那實際上是從用有限時間中分割出的無窮多個時間點（或兩兩之間的無窮多段時間）來完成的。
亞里斯多德還指出，無論對空間、時間還是其他連續之物，我們談論它們的「無窮」時必須區分兩種含義：一種是分割意義上的無窮，一種是延伸意義上的無窮，芝諾混淆了兩者故而得出了錯誤結論。亞里斯多德的這一表述跟我們通過無窮級數表述的看法有異曲同工之處，「分割意義上的無窮」相當於項數無窮，「延伸意義上的無窮」相當於結果無窮，將兩者混為一談正是二分悖論的誤區。只不過亞里斯多德用的是芝諾自己的手法，可謂「以子之矛，攻子之盾」或曰「以毒攻毒」，是論辯的高招。
雖然同屬古希臘的亞里斯多德就已對芝諾的悖論做出過相當一針見血的分析或反駁，但跟那個時代其他很多如今看來幼稚的學說相比，芝諾的悖論顯然有著強得多的生命力，時至今日，仍不僅能將普通人繞進去，甚至能讓哲學家陷入爭論。從數學的角度看，上面這兩種芝諾的悖論實際上是對涉及無窮的種種精微之處的早期困惑。從這種困惑中，芝諾還提出過對無窮大的否定，理由是——據後人記述——「事物必須與自身一樣多，不能更多也不能更少」，而無窮大不與自身一樣多，因此該被否定。什麼叫做無窮大不與自身一樣多？一種很可能的猜測是，芝諾注意到了無窮集合的一個特點，那就是無窮集合可以與自身的某些真子集一一對應。空間是無限可分的。而無限的細分部分加在一起無法等於整體。
第二個是公元前212年阿基米德（Archimedes），他把每次追趕的路程相加起來計算阿基裡斯和烏龜到底跑了多遠。這問題歸結為無窮級數求和的問題。他用個巧妙的方法算出等比級數的和。說明阿基裡斯和烏龜的速度如果成比例的話，整個追趕過程是在有限的長度中。
在這種特例之外的情況，一直到了十九世紀柯西關於收斂性研究後才有了明確的答案。這結果是按照阿基米德的思路和收斂性研究的結果。結論是按照阿基裡斯比烏龜快的條件，可能有兩種結果。如果這個追趕的路程相加起來的無窮級數求和收斂，這個過程是在有限的長度中，否則不是有限的。在後者情況阿基裡斯確實追不上烏龜。
從這些方面看，芝諾可謂是最早對無窮這一概念進行深入思考的古希臘先賢，芝諾的悖論絕非幼稚之論，甚至也並非普通的詭辯，而是一段漫長探索的起點。為無窮這一概念建立可靠基礎後來成了數學家和邏輯學家長期努力的目標。德國數學家大衛希爾伯特（David Hilbert）在與保羅伯奈斯（Paul Bernays）合著的《數學基礎》一書中曾經表示，從數學上講，能否真正解決芝諾的悖論，關鍵是能否給出一個關於連續統的自洽的數學理論。這就把芝諾的悖論當作了那時正處於熱議中的數學基礎研究的重要組成部分（「連續統」指的是實數集，是數學基礎研究的重要對象）。
我們可以編出一個不收斂的例子如下：烏龜領先阿基裡斯1尺，當阿基裡斯趕上這1尺時，烏龜又爬了1/2尺，阿基裡斯趕上這1/2尺時，烏龜又爬了1/3尺，阿基裡斯趕上這1/n尺時，烏龜又爬了1/(n+1)尺，如此等等。阿基裡斯確實比烏龜快，它們的距離每次都在縮短，但確實永遠也追不上。這個故事是調和級數求和，結果是無窮大。這時芝諾的推理與事實相符了，悖論成了佯謬，要糾正的是常識而不是推理。我們一般不再考慮這種情況了，專注於有爭議的收斂情況的解釋。
到了這裡，大家都覺得這個悖論已經被破解了。其實不然。阿基米德的思路確實是沿著芝諾追趕過程的邏輯走。把這個過程描寫成無窮級數求和的問題，給出整個追趕是在多長的範圍內。芝諾的邏輯說這個差距在追趕的過程中永遠存在，不會是零，所以不會被超越。對應著無窮級數求和是一個逼近的過程，它可以無限逼近它的極限值，但永遠不會達到。因此阿基米德和現代級數收斂計算的結果只是給出了悖論常識一方可能被超越時的邊界數值，而沒有跨過這永遠不會為零的間隙。
在收斂的情況下，阿基裡斯事實上能夠達到這個極限點從而超越，然而在邏輯上，這與無窮級數求和只能無限逼近它的極限值仍然構成悖論矛盾的雙方。到底阿基裡斯能不能追上烏龜，等價於這無窮級數求和能不能等於它的極限值。這就要涉及到數學上實無窮和潛無窮的哲學爭論了。實無窮認為無窮是可以達到的，當阿基裡斯追上烏龜時便是這種情況，這時無窮級數的和等於它的極限值。潛無窮認為無窮是一個過程，不是實在的東西。在這個觀點下，無窮級數求和只能不斷逼近它的極限，而不是等於它。這個觀點導致阿基裡斯永遠陷在追趕烏龜的過程中。
畢達哥拉斯學派主張1>0.9999…… 是贊成潛無窮觀點。用實無窮雖然可以解釋許多結果，但是它的使用產生出很多問題，很多人並不支持。在他以後的亞里斯多德傾向潛無窮但在阿基裡斯與烏龜的問題上含糊其辭，這時大家對無窮都很頭疼，以後的數學家從歐幾裡德開始，都儘量迴避無窮的問題，專注於談得清的有限問題。一直到牛頓和萊布尼茨的微積分，又採用了實無窮的概念，將導數表示為兩個無窮小之比，積分為許多無窮小的加權和，得出豐碩的成果。實無窮的思想回潮和濫用，又產生了很多問題和混亂，以致貝克萊把這些矛盾組合成悖論來反對微積分，導致數學第二次危機。到了魏爾斯特拉斯，他驅逐了實無窮，由潛無窮的概念發展出嚴謹的極限概念，重鑄分析的基礎。
百多年後，康託爾又在集合論中將實無窮請回來。在20世紀60年代，魯濱遜又把無窮小量請了回來，從而建立了非標準分析。數學的直覺主義學派如今仍然反對實無窮。以致希爾伯特感嘆說：「無窮是一個永恆的謎！」
阿基裡斯追龜的問題，之所以流傳至今成「千年悖論」，就在於它已經深刻地觸接到了時空是否無限可分的難題。芝諾的阿基裡斯與烏龜的悖論的破解，經過兩千多年兜了一圈又回到實無窮與潛無窮的爭論中去。今日人們實用主義地在不同場合分別使用這兩種概念。這當然是一種未澄清的矛盾狀態。到現在，中外數學，物理和哲學期刊裡還不時有著討論實無窮，潛無窮及芝諾悖論的論文，爭論仍然沒有結束。
由上述問題可以看出，在沒有極限這個工具之前，人們遇到諸如阿基裡斯不能跑過烏龜這樣的悖論時，顯得束手無策。而且無窮學說的提出，引起了數學界的巨大混亂。即使偉大的數學家牛頓和萊布尼茨創立微積分時，還沒有給出極限嚴密的數學定義，直到柯西這個大神出現，他給出了極限的數學定義，正是有了極限這個工具才能解決了讓無數數學家煩惱不已的問題。從這個角度，我們稱柯西是近現代數學分析的奠基人一點兒都不為過，把極限稱為高數的靈魂就應該是理所當然。
最後讓我們用英國哲學家阿爾弗雷德懷特海（Alfred Whitehead）的話來為芝諾的悖論蓋棺論定。懷特海曾經表示，雖然所有人都不認同芝諾的結論，但「每個世紀都認為他值得反駁」，這就非常了得，因為「文字能被每個世紀所反駁乃是成就之巔峰」。所以我們在分析問題的時候，千萬不要被慣性思維誤導，在問題的關鍵中尋找漏洞，也許可以將看似堅不可摧的邏輯悖論破解！