迎戰七年級數學期中考試:數軸上的「中點」引發的動點問題

2021-01-08 初中數學解題秀

數軸上的「中點」問題,堪稱「退化版」的「一維」中點坐標公式,在七年級數學學習中,常常會以「數軸摺疊」或數軸上的動點行程問題等形式呈現,具有一定的綜合性。而掌握數軸上的「中點」「模型」,對於快速解題至關重要,本文簡要闡釋一下:如圖,數軸上,M是AB的中點,A對應a,B對應數b,M對應m,請探究a,b,m三者關係。

根據「數軸上兩點間的距離等於右數-左數」由方程思想立證:中點m等於"兩頭"a+b和的平均數,將這個結論作簡單的「公式變形」,還可以得到另外幾個形式,並且這些基本結論在考試中都可以直接使用,特別方便。

上圖可知,數軸上的「中點」公式有①②③④幾種形式,需要理解記憶,迅捷識別使用。

如圖,已知 A ,B ,C 是數軸上的三點,點 C 表示的數是6 ,BC=4 ,AB=12

(1)寫出數軸 A ,B 兩點表示的數A:_____;B________.

(2)動點P ,Q 分別從 A ,C 同時出發,點 P 以每秒 2 個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動,點Q 以每秒 1 個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動,設運動時間為 t 秒, t為何值時,原點 O與P ,Q 三點中,有一點恰好是另兩點所連線段的中點?

第(1)問:顯然A:-10,而B:2;又C:6,太簡單,不說了。

第(2)問:首先根據「數軸上點的移動規律:左減右加」,表示出P:-10+2t,而Q:6-t。顯然由「原點O 與P ,Q 三點中,有一點恰好是另兩點所連線段的中點」可知需要分3種情況討論:①O是PQ中點;②P是OQ中點;③Q是OP中點。而中點公式的四種形式:①m=(a+b)/2,②a+b=2m,③a=2m-b,④b=2m-a,可知選用第二種比較好。

本題不難,識別模型,可以迅速解題。

等到學習平面直角坐標系以後,在「二維」的坐標系中,「中點坐標公式」同樣適用,且等初二分解,在下不表。

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