初一上學期期末熱點,利用數軸解決相關問題,動點題難度大

2020-12-04 勤十二談數學

初一上學期，有兩類難題，一類是實際應用題，另外一類就是動點題，動點題中我們首先接觸的就是數軸動點題。本篇文章主要介紹利用數軸解決相關問題，包括數軸動點題的簡單介紹。

01類型一：利用數軸解決距離問題

在講動點題之前，需要掌握利用數軸解決距離問題。那麼，首先需要知道絕對值的幾何應意義，數軸上表示 a 的點到原點的距離，原點用「0」表示，即一個數與0的距離。比如5到原點的距離為5，那麼|5|=5；-5到原點的距離也等於5，那麼|-5|=5；如果一個數到原點的距離等於5，那麼個數可能是±5。如圖，點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，那麼有如下結論：

（1）點A到原點的距離為|a|；

（2）點B到原點的距離為|b|；

（3）A、B之間的距離為|a-b|=b-a；

（4）如果A、B兩點表示的數互為相反數，那麼A、B兩點到原點的距離相等，即|a|=|b|.

例題1：如圖，數軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示-4，點G表示8

（1）點B表示的有理數是_________ ，表示原點的是點是 _________．

（2）圖中的數軸上另有點M到點A，點G距離之和為13，則這樣的點M表示的有理數是 _________．

（3）若將原點取在點D，則點C表示的有理數是_________ ，此時點B與點 表示的有理數互為相反數_________．

分析：（1）先根據數軸上兩點之間距離公式求出點A到點G的距離，再求出相鄰兩點之間的距離即可解答；（2）設點M表示的有理數是m，根據數軸上兩點之間距離的定義即可求出m的值；（3）根據兩點間的距離是2可求出C點坐標，再根據相反數的定義即求出結論．

解：（1）∵數軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示-4，點G表示8，∴AG=|8+4|=12，∴相鄰兩點之間的距離=12÷6=2，∴點B表示的有理數是-4+2=-2，點C表示的有理數-2+2=0，

（2）設點M表示的有理數是m，則|m+4|+|m-8|=13，∴m=-4.5或m=8.5，

（3）若將原點取在點D，∵每兩點之間距離為2，∴點C表示的有理數是-2，∵點B與點F在原點D的兩側且到原點的距離相等，∴此時點B與點F表示的有理數互為相反數。

02類型二：數軸上的點表示的數

若數軸上的點M表示的數為m，沿數軸移動a個單位，有如圖所示的結論：

點在數軸上運動時，由於數軸向右的方向為正方向，因此向右運動的速度看作正速度，而向左作運動的速度看作負速度。這樣在起點的基礎上加上點的運動路程就可以直接得到運動後點所表示的數。如果沒有說明移動的方向，那麼需要分情況討論。

例題2：數軸上點A表示的數是-3，將點A在數軸上平移7個單位長度得到點B．則點B表示的數是_________．

分析：根據題意，分兩種情況，數軸上的點右移加，左移減，求出點B表示的數是多少即可．

解：點A表示的數是-3，左移7個單位，得-3-7=-10，點A表示的數是-3，右移7個單位，得-3+7=4．所以點B表示的數是4或-10．

03類型三：數軸動點題

掌握這兩個基本知識點，再加上方程思想和用字母表示數，我們可以解決大部分數軸動點題，有些數軸動點題與行程問題有關，我們可不藉助這兩個知識點來做。

例題3：已知A、B、C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的2倍，則稱點C是（A，B）的奇異點，例如圖1中，點A表示的數為-1，點B表示的數為2，表示1的點C到點A的距離為2，到點B的距離為1，則點C是（A，B）的奇異點，但不是（B，A）的奇異點．

（1）在圖1中，直接說出點D是（A，B）還是（B，C）的奇異點；

（2）如圖2，若數軸上M、N兩點表示的數分別為-2和4，

①若（M，N）的奇異點K在M、N兩點之間，則K點表示的數是________；

②若（M，N）的奇異點K在點N的右側，請求出K點表示的數．

（3）如圖3，A、B在數軸上表示的數分別為-20和40，現有一點P從點B出發，向左運動．若點P到達點A停止，則當點P表示的數為多少時，P、A、B中恰有一個點為其餘兩點的奇異點？

分析：本題為數軸動點題與閱讀理解型問題相結合，（1）根據A、B、C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的2倍，則稱點C是（A，B）的奇異點，即可得結論；（2）①根據（1）即可得K點表示的數；②首先設K表示的數為x，根據（1）的定義即可求出x的值；（3）分四種情況討論說明一個點為其餘兩點的奇異點，列出方程即可求解．

解：（1）根據定義：A、B、C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的2倍，則稱點C是（A，B）的奇異點，可知：點D是（B，C）的奇異點；

（2）①（M，N）的奇異點K在M、N兩點之間，則K點表示的數是2；

②（M，N）的奇異點K在點N的右側，設K點表示的數為x，

則由題意得，x-（-2）=2（x-4）

解得x=10

∴若（M，N）的奇異點K在點N的右側，K點表示的數為10；

（3）設點P表示的數為y，當點P是（A，B）的奇異點時，則有y+20=2（40-y）

解得y=20．

當點P是（B，A）的奇異點時，則有40-y=2（y+20）

解得y=0．

當點A是（B，P）的奇異點時，則有40+20=2（y+20）

解得y=10．

當點B是（A，P）的奇異點時，則有40+20=2（40-y）

解得y=10．

∴當點P表示的數是0或10或20時，P、A、B中恰有一個點為其餘兩點的奇異點．

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