1900年，在巴黎召開第二次國際數學家大會。著名的德國數學家戴維·希爾伯特在會上發表了演講，並列出當時數學中還未解決的10個重要問題，會後又補充到23個。其中，第一個問題就是康託爾的連續統假設。
康託爾建立了一個按順序安排的阿列夫數超窮基數系統，康託爾相信，在阿列夫數系統之外沒有基數。然而，在康託爾能夠證明每一個基數都能放進這個系統之前，必須通過一一對應的方法，比較每一對可能的集合要素，並且無窮基數必須體現出相同的序原則。就是說，得像實數一樣，任意兩個實數之間，要麼相等，要麼一個比另一個大。
為了證明自己的系統，康託爾提出了良序原則。如果一個集合天然地具有一個最小的元素，那麼可以定義它為良序的。因此，所有正整數在自然順序下是良序的，因為它是從第一個最小的元素1開始的。另一方面，所有整數的集合不是良序的，因為得先做一個修正，設定一個第一個或最小的元素。因此，正整數集合和整數集合有相同的基數，但序的類型不同。
康託爾在一篇長論文《集合論基礎》中寫道：
對整個點集理論來說，良序集合的觀念被證明是必需的。通常，任意確定的集合都可以用良序集合的形式來表示。既然這種思考方法對我來說是基本的，能夠藉此得出很多成果，對集合論的普遍有效性尤其有用，在以後的論文中，我還會提到它過。
因此，良序原理的證明是邁向證明連續統假設的重要一步。康託爾認為，沒有這樣一種由元素組成的集合，其勢大於所有自然數集合的勢。但他一直都沒有找到正確的證明。
不可否認，集合論在正反兩個方面震動了數學界。1903年，康託爾在德國數學學會的一次會議上作了演講，回答了法國數學家提出的一些早期問題。一年後，獲得了英國皇家學會授予的西爾維斯特獎章，這在當時是授予數學家的最高榮譽之一。同時，康託爾發現自己的理論正面臨著一個非常嚴峻的挑戰。
在海德堡舉辦的第三屆國際數學家大會上，一位來自布達佩斯的著名數學家朱爾斯·柯尼希宣稱：康託爾連續統的勢不是任何阿列夫數。柯尼希的報告成了當時的頭版頭條新聞。雖然康託爾拒絕接受這個證明，但又無法在柯尼希的推理中找出任何紕漏。
然而不到一天，哥廷根大學的一位年輕數學家恩斯特·策梅洛拯救了康託爾。策梅洛指出柯尼希的一個前提是錯的，從而可以肯定柯尼希的證明是靠不住的。因為策梅洛的解圍，康託爾暫時緩一口氣。之所以這麼說，是因為在連續統假設得到證明之前，康託爾的全部工作幾乎只是一種理論構想。
支持者：策梅洛
恩斯特·弗裡德裡希·費迪南德·策梅洛生於1871年，在柏林長大，並在柏林大學、哈勒大學和弗萊堡大學學過數學、物理學和哲學。1894年，寫了一篇關於變分法的論文，拓展了卡爾·魏爾斯特拉斯的方法，由此獲得柏林大學的博士學位。1899年，哥廷根大學為他提供了一個無薪助教的職位。1900年至1901年的冬季學期，他開始對集合論感興趣，並講授集合論。和康託爾一樣，策梅洛擔心，在現有的形式下，集合論會招致更多的抨擊。
為了證明良序原理，策梅洛主張：在任意給定的非空集合中，可以從每個集合中只選出一個元素來組成一個新的集合。這樣，如果假定在一個集合的每個非空子集中，可以選出一個元素，或指定一個元素作為特殊元素，那麼這個集合就是良序的。這就是策梅洛的選擇公理。
選擇公理在很多數學家之間激起了反響，選擇公理簡化了很多證明過程，得到了很多數學家的認可，只是該觀點牽涉到無窮多的選擇。策梅洛宣稱：「在數學推論的每一個地方，人們都毫不猶豫地應用了它。」
策梅洛的創造在於首次對這個觀點牢靠地進行表述，而且無懈可擊。這為策梅洛帶來了聲譽，1905年他被任命為哥廷根大學的頭銜教授。然而，選擇公理在德國、英國、匈牙利、荷蘭、義大利和美國等國都引起了爭議，有贊成也有反對。最大的爭議集中在法國的數學家之間，其中最主要的反對者是埃米爾·波萊爾。
反對者：波萊爾
1871年，埃米爾·費裡克斯一多爾德一賈斯汀·波萊爾生於法國阿韋龍省的聖阿夫裡克，兒童時期，就顯示出數學天賦，以神童著稱。19歲時，進入法國綜合理工大學，並在第一學年就發表了兩篇論文。因為成績優異，很快被邀請到裡爾大學任教。1894年，23歲的波萊爾獲得巴黎高等師範學校的博士學位，並很快樹立了穩固的名聲，1911年，成為那裡的科學導師。
1901年，波萊爾興趣擴展到數學的應用和公共事務，並對集合論產生特殊興趣。1898年，在他的《函數論講義》中，波萊爾發表了一個對康託爾集合論非常關鍵的分析。因此，當1904年策梅洛選擇公理的證據出現在《數學年鑑》上時，下一期的《數學年鑑》上就收錄了一些從國際學術界收集的評論和批判，而埃米爾·波萊爾的評判尤其受重視。波萊爾在評論結尾寫道：「對我來說，對它（策梅洛的證明）的反對也適用於每一個需要我們設想做出無數次選擇的推理，因為這樣的推理在數學中不存在。」
選擇公理爭議的中心是：什麼是數學中允許的方法。策梅洛的方法，對在運用它時的條件和方法都沒有建設性的定義。波萊爾堅決反對沒有建設性的方法，直接地挑戰策梅洛的主張：從每一個非空子集中，可以挑出或指定一個元作為特殊元素，這樣我們就可以創建一個良序集合。波萊爾及其工作組認為選擇公理需要無窮次難以想像的操作。
然而，波萊爾認同策梅洛在試圖解決一個重要的問題，因此他的反對本身也引發了相當的爭議。可接著，波萊爾收集了幾個頂尖的法國數學家一一J．阿達馬，雷內·貝爾和H·勒貝格在這個問題上的觀點，再加上自己的觀點，於1905年在《數學會通報》上發表《五元集合論》。其中阿達馬支持策梅洛；貝爾和勒貝格站在波萊爾一邊。
幾年後的1912年，波萊爾總結了自己在這場爭論中的意見：波萊爾以挑戰康託爾創造的一個方法開頭。該方法牽涉到運用連續的小數來證明全體實數的集比全體整數的集和全體有理數的集大，因此無窮就有不同的級別。
波萊爾的小組主張「所有集合的集合」這個概念沒有被正確地定義，因此才產生悖論；連續統假設也讓波萊爾小組成員難以接受。比如，波萊爾不相信連續統會是良序的。
公理化
希爾伯特從一開始就對集合論很感興趣。他發表的著作《幾何基礎》，用集合的例子主張運用公理體系來確保定理成為穩固的結構。而當康託爾面對集合論的幾個悖論時，康託爾首先求助的人就是希爾伯特。實際上，策梅洛在早於羅素的幾年之前，就獨自發現了羅素悖論，可能是因為策梅洛有更多的數學傾向，就沒有發表。而羅素在1903年發表悖論，並告訴過希爾伯特。
因此，希爾伯特對證明實數能組成一個嚴格的集合產生興趣。這將是集合論一個很有用的基礎，將說明實數集合是否能適當地放入阿列夫數中間，有助於說明連續統的連貫性。
與此同時，在波萊爾及其小組反對和批評的激勵下，策梅洛從一個類似的方向著手這項工作。策梅洛為了將集合論建立在一個更穩固的基礎上，也為解決掉當前和以後可能會出現的悖論，挽救自己的選擇公理，他採用和希爾伯特類似的方法：對集合論進行公理化。
1907年夏，策梅洛完成了兩篇論文，內容是對極具爭議的良序定理的再次修訂和對集合論的公理化。次年，發表在《數學年鑑》的同一期上。經過修訂的良序定理的證明運用了選擇公理，並說明兩者是等價的。策梅洛對他運用公理進行了辯解，並主張數學家應該一直運用它，如果它沒有引起矛盾的話。他堅持認為，公理「有一個純粹客觀的性質，這很容易明白。"
第一篇論文也有為選擇公理辯解的內容。策梅洛承認選擇公理沒有被證明，但他認為：
在數學中，沒被證明……並不等同於不正確，畢竟不是每種東西都能被證明，但是每個證明反過來都是以沒有證明的原理為前提。
那麼運用選擇公理的依據是什麼？他認為選擇公理被用來證明重要的定理，即便是自然科學也需要。還認為選擇公理早已經在數學中得到應用：
這個公理，即使它從來沒有以教科書風格的語言表達出來，它還是被經常用到，並且用得很成功，涉及的數學領域也非常廣……是一個毋庸置疑的事實……一個原理運用得如此廣泛，只能用不證自明來解釋。
正如《數學中的現實主義》的作者佩尼洛普·馬迪所指出的：
這整段歷史插曲中最有諷刺意味的是：對這個公理最強烈的反對正是來自法國分析家小組一一貝爾，波萊爾和勒貝格，而他們卻在無意中非常頻繁地用到它，他們的工作部分地說明了數學中不可缺少它。
策梅洛認為自己集合論公理化的第二篇論文尤其重要，他從一開始就聲明：集合論是所有數學領域不可或缺的組成部分。但是對於危及集合論的悖論，在提供解決方案之前，公理化將會走很長一段路。
策梅洛計劃把那些看起來最不可能引起悖論的集合和類別收入公理體系中，他只收入了包括選擇公理在內的7個公理，就建立起了他的體系！儘管在發表前，他曾希望證明他的集合是前後一致的，但他沒做到，最終他還是發表了這篇論文。
波萊爾小組再一次批評了策梅洛的工作，但這次是慢慢地激烈起來的。開始的時候，波萊爾贊成策梅洛和阿達馬的一些推理。他說：
當然，對諸如所有實數或所有連續函數之類的數學類進行推理是可能的，它是用有限的語句來定義的，儘管並不是所有的元素都能用這種方式來定義。這樣我們可以得到這個類的一般性質。
阿達馬回應波萊爾說：
我懷疑我還說過別的話。確實為了形成一個集合，所有的元素都必須以某種方式存在……如果不是連續統存在一種良序的方式，策梅洛會說明至少存在一個如此排序的（非空的）類……總之，這意味著我們應該只能夠對所有這些排序的一般性質進行推敲。我願意相信它。有太多其他我們永遠都不會了解的事情。
格雷戈裡·莫爾又說：
波萊爾承認，對於任何抽象的實體，策梅洛有權利賦予他所希望的不矛盾性質。但與此同時，他強調這種形式邏輯只會導致純囗頭結論，與現實沒有關係。儘管波萊爾抱著懷疑的態度，但對於一個能特別定義的對象與其中的對象無法特別定義的非空集合，阿達馬卻認為它們之間截然有別，在數學邏輯中，他的這種想法在後來被認為相當重要。
阿達馬一直都支持策梅洛，並為了支持選擇公理而和其他人辯論。策梅洛相信他的公理是互相獨立的，還認為系統的一致性是件有待確定的複雜事情，同時已經設法為悖論提供了一個答案。而一般的反應是：策梅洛對康託爾的集合論做出了改進，但他的體系還需要完善。莫爾認為：
在1909年至1919年的過渡期，事實證明，對比他引進來作為集合論基礎的公理化體系，對於選擇公理的爭論要有把握得多。
而對策梅洛體系的一個反駁是：它沒有為其中的公理提供有針對性的基本原理。波萊爾、勒貝格和羅素，擔心選擇公理作為集合論的基礎公理沒有建設性。勒貝格和其他人不能接受在選擇公理中，要用到無窮多個前提來進行推理。
1921至1922年，亞伯拉罕·阿道夫·弗蘭克爾發現，對於集合論的完全應用來說，用策梅洛的公理建立所有的集合是不夠的，於是他改進了策梅洛的工作。為避免悖論，他加入了一些建立集合的限制，同時為滿足大部分經典分析的需要，承認了足夠多的集合。之後，其他人做了一些改動，最終得到的公理體系就以策梅洛一弗蘭克爾體系著稱，並得到集合論學家們的廣泛應用。
然而20世紀30年代，哥德爾的不完備理論說明：對於給定的任何系統來說，在系統中都有不能在系統內證明的命題。換言之，不能依靠完全在系統內的研究來構建集合論的一致性，無論怎樣構建它都不行。只有運用更高一級的原理或外部的原理，才能得到這種一致性。