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導 讀輕輕擠壓桌子上的一張A4紙時，整個紙張在桌面上隆起形成波浪狀（圖1）。而捲起袖子或眨眼睛時，則會在袖子或眼瞼上出現各種複雜褶皺。這類現象都可歸納為軟薄膜在硬基底上受壓產生的非線性失穩變形，在日常生活中無處不在。對於平面情況（零曲率），已經有學者對褶皺失穩現象進行了系統研究。然而，在更為複雜的曲面上，人們對其中的變形機理和起皺過程仍然知之甚少。
圖1. 紙片在光滑桌面上受擠壓的變形過程，可以看到單一的半波隆起直至兩端接觸。
今日，復旦大學青年研究員徐凡課題組發表於Physical Review Letters上的研究成果首次揭示了曲率影響下（圓柱核心）軟薄膜在軸向受壓時的非線性失穩演化全景（如圖2）[1]。有趣的是，看似簡單的現象背後卻包含著複雜的非線性力學機理，即光滑(smooth)-褶皺(wrinkle)-凸脊(ridge)-松垂(sagging)的多重分岔失穩行為，是一個涉及多種模態連續轉變的強非線性問題。如圖3所示，在某一個載荷下，系統可能存在多個平衡狀態，且比當前狀態能量更低，促使系統向更低能量的模態分岔。實驗（圖2）中首先觀察到周期性的軸對稱正弦形褶皺，然後演變到局部的「凸脊」形模態。受曲率影響，凸脊的高度存在極限，並不會像平面情形（圖1）下半波的高度接近於整個薄片對摺的尺度。在到達這個撓度極限後，凸脊由於對稱性破缺倒向一邊而發生偏轉。
圖2. 軟膜在圓柱面上的幾種失穩模態。(a) 擼起的袖子，(b) 實驗裝置示意圖，(c)-(f) 實驗中隨載荷增加從光滑(smooth)依次出現正弦形(wrinkle)，凸脊形(ridge)，松垂形(sagging ridge)模態，(g)-(j) 是其分別對應的特徵示意圖。
圖3. 多重分岔的樹狀示意圖，如應變-勢能或載荷-位移的多重後屈曲分岔路徑。每條分岔支路（不同顏色區別）對應一種失穩模態，多重分岔將導致模態選擇與轉化。
研究人員通過數值計算來定量預測這一演化過程（圖4）。當軸向壓縮載荷到達臨界點時，圓柱核心上的光滑薄膜會屈曲失穩為正弦形模態，通過Koiter屈曲理論[2]可以預測其臨界狀態的應變及波長（接觸對於屈曲並無顯著影響）。而理論預測也表明，當曲率半徑無窮大時（接近平面），結構整體變形為一個半波（圖1）。隨著載荷的增加（圖4），正弦形褶皺的幅值隨之增加，直到第二個臨界點：其中一個波的幅值快速的增長，伴隨著其餘波的幅值劇減，形成局部凸脊形模態。凸脊的高度受幾何尺寸（柱殼的半徑和厚度）的影響，而與殼體的長度無關。當凸脊達到上限之後發生第三次分岔，凸脊偏轉的同時會把周圍區域的壓應力釋放。值得注意的是，採用不同的材料本構模型並不會對這一過程產生較大影響，說明該現象依賴於幾何非線性而不是材料性質（如不同材質的衣服均會出現類似的褶皺形貌）。
圖4. 後屈曲分岔演化相圖。紅線為凸脊頂峰的徑向位移，藍線表示與凸脊相鄰的波峰位移。
研究人員進一步考察了加載與卸載過程。系統失穩產生的首個正弦形褶皺模態屬於穩定的超臨界分岔(supercritical bifurcation)，而後兩次分岔（正弦/凸脊，凸脊/松垂）屬於不穩定的亞臨界分岔(subcritical bifurcation)，在正弦/凸脊和凸脊/松垂的轉變區域產生遲滯現象(hysteresis)。通過比較加載/卸載兩個階段的能量差，發現在正弦/凸脊和凸脊/松垂兩個過渡區域中，分別存在一個Maxwell應變。該應變表示處於過渡中的兩種狀態能量相等，可用於判斷和預測後屈曲過程中相鄰失穩模態的轉變趨勢。
圖5. 柱殼與核心的間隙可以影響並調控柱殼失穩模態的選擇。
該研究也為上世紀60年代Horton[3]，Almroth[4]等人研究單軸受壓下金屬薄殼屈曲的模態選擇提供了一個科學的解釋。當在柱殼中放入一個核心，且核心與柱殼的間隙與殼的厚度相當（以避免柱殼局部變形過大），則由於間隙產生的缺陷敏感性使屈曲時產生非軸對稱的「鑽石形」模態(diamond-like pattern) [5]。較大的間隙使殼體在屈曲後與核心接觸，而較小甚至為零的間隙在結構屈曲前就已發生接觸，易產生穩定的正弦形軸對稱變形。研究發現可以通過控制孔隙的大小來進行失穩模態的調節與選擇（軸對稱/鑽石形模態轉變）。該發現也為軟薄膜表面形貌的力學調控與設計提供了新的思路。
該文的第一作者為復旦大學航空航天系本科生楊易凡，通訊作者為復旦大學航空航天系青年研究員、博士生導師徐凡，曾獲美國機械工程師學會法國分部青年研究員獎(ASME Prize, French section)。參與該研究的合作者還有香港城市大學數學系的戴暉輝教授和法國洛林大學國家科學研究中心(CNRS)的Michel Potier-Ferry教授。此研究受到國家自然科學基金(11602058, 11772094)，上海市「晨光計劃」(16CG01)，香港GRF基金(11302417)，以及法國國家科學研究基金(ANR-11-LABX-0008-01)等項目的資助。
[1] Y. Yang, H.H. Dai, F. Xu, M. Potier-Ferry. Pattern transitionsin a soft cylindrical shell. Phys. Rev.Lett., accepted.
[2] A.M.A. van der Heijden, 2009. W.T. Koiter's Elastic Stability of Solids and Structures. CambridgeUniversity Press, New York.
[3] B.O. Almroth, A.M.C. Holmes, D.O. Brush, 1964. An experimentalstudy of the buckling of cylinders under axial compression. Exp. Mech. 4, 263-270.
[4] W.H. Horton, S.C. Durham, 1965. Imperfections, a maincontributor to scatter in experimental values of buckling load. Int. J. Solids Struct. 1, 59-72.
[5] F. Xu, M. Potier-Ferry, 2016. On axisymmetric/diamond-like modetransitions in axially compressed core-shell cylinders. J. Mech. Phys. Solids 94, 68-87.
本文系網易新聞·網易號「各有態度」特色內容
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